阴阳

题目大意

给定一颗有n个结点的树，每条边的权值为1或-1。问有多少点对(i,j)（注意点对不存在顺序性），满足i到j的最短路径上能找到一个点k，使得i到k的最短路径权值和为0，k到j的最短路径权值和为0。
n<=100000。

点分治

我们进行点分治。
对于当前的根x，我们统计有多少对经过了x的满足题目要求。
我们可以处理出d[i]表示i到x的权值和，b[i]=1表示i到x路径上可以找到异与i与x的一点k满足d[k]=d[i]。
注意到如果i与j是合法的，d[i]+d[j]=0。
因此我们可以用桶进行统计。
所有b[i]=1且d[i]=0的点都可以与x凑成“合法”点对。
所有d[i]=0的点都可以成为“合法”点对。
注意可能会有出自同一子树的点对满足条件，因此分治下去是减去非法方案。

参考程序

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<deque>#include<stack>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const ll maxn=100000*2+10;deque<ll> dl;stack<ll> sta;ll a[maxn],sum[maxn],d[maxn],h[maxn],go[maxn],next[maxn],dis[maxn],s[maxn],pd[maxn],fa[maxn],fi[maxn];bool b[maxn],bz[maxn],vis[maxn],czy;ll i,j,k,l,t,n,m,tot,top,ans;void add(ll x,ll y,ll z){    go[++tot]=y;    dis[tot]=z;    next[tot]=h[x];    h[x]=tot;}void dg(ll x){    dl.push_back(x);    vis[x]=1;    a[top=1]=x;    ll now,t;    while (!dl.empty()){        t=h[now=dl.front()];        sta.push(now);        s[now]=1;        dl.pop_front();        while (t){            if (!bz[go[t]]&&!vis[go[t]]){                vis[go[t]]=1;                a[++top]=go[t];                fa[go[t]]=now;                dl.push_back(go[t]);            }            t=next[t];        }    }    while (!sta.empty()){        s[fa[sta.top()]]+=s[sta.top()];        sta.pop();    }}void dfs(ll x){    ll i,now;    fo(i,1,top) fi[a[i]]=h[a[i]];    sta.push(x);    vis[x]=1;    while (!sta.empty()){        now=sta.top();        while (fi[now]&&(vis[go[fi[now]]]||bz[go[fi[now]]])) fi[now]=next[fi[now]];        if (!fi[now]){            sta.pop();            if (!sta.empty())pd[d[now]]--;            continue;        }        vis[go[fi[now]]]=1;        d[go[fi[now]]]=d[now]+dis[fi[now]];        b[go[fi[now]]]=0;        if (pd[d[go[fi[now]]]]) b[go[fi[now]]]=1;        pd[d[go[fi[now]]]]++;        sta.push(go[fi[now]]);    }}void count(ll sig){    ll i;    fo(i,1,top)         if (b[a[i]]&&d[a[i]]>0) sum[d[a[i]]]++;    fo(i,1,top)        if (d[a[i]]<0) ans=ans+sig*sum[-d[a[i]]];    fo(i,1,top){        if (b[a[i]]&&d[a[i]]>0) sum[d[a[i]]]--;        if (b[a[i]]&&d[a[i]]<0) sum[-d[a[i]]]++;    }    fo(i,1,top)        if (!b[a[i]]&&d[a[i]]>0) ans=ans+sig*sum[d[a[i]]];    fo(i,1,top)        if (b[a[i]]&&d[a[i]]<0) sum[-d[a[i]]]--;    ll cnt=0;    fo(i,1,top)         if (!d[a[i]]) cnt++;    if (cnt){        if (sig==1) cnt--;        ans=ans+sig*cnt*(cnt-1)/2;    }}void solve(ll x){    top=0;    dg(x);    ll i,j=x,k=0,t;    fo(i,1,top) vis[a[i]]=0;    if (czy) count(-1);else czy=1;    while (1){        t=h[j];        while (t){            if (!bz[go[t]]&&go[t]!=k&&s[go[t]]>s[x]/2){                k=j;                j=go[t];                break;            }            t=next[t];        }        if (!t) break;    }    d[j]=0;    b[j]=0;    dfs(j);    fo(i,1,top) vis[a[i]]=0;    count(1);    fo(i,1,top)        if (!d[a[i]]&&b[a[i]]) ans++;    t=h[j];    bz[j]=1;    //printf("%lld %lld %lld\n",x,j,ans);    while (t){        if (!bz[go[t]]) solve(go[t]);        t=next[t];    }}int main(){    //freopen("D:/in.txt","r",stdin);    scanf("%lld",&n);    fo(i,1,n-1){        scanf("%lld%lld%lld",&j,&k,&t);        if (!t) t=-1;        add(j,k,t);        add(k,j,t);    }    //printf("\n");    solve(1);    //printf("\n");    printf("%lld\n",ans);}