欧拉函数

来源：互联网发布：软件培训机构排行榜编辑：程序博客网时间：2024/05/19 23:11

对正整数n，欧拉函数是小于n的数中与n互质的数的数目

欧拉函数与组合数学中的计数原理和容斥原理有着密切的联系。

Euler函数表达通式：

$\\ Euler(x)=x(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_n})$

其中 $\\p_1,p_2\cdots p_n$ 为x的所有素因子，x是不为0的整数。

euler(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有 $\\a^{\phi(n)} \equiv 1 ~mod~n$ (可用于求解逆元）

若m,n互质， $\\ \phi(mn)=\phi(m) \phi(n)$ ——积性函数的性质

同时，欧拉函数也能这样计算： $\\ \phi(a_i^{k_i})=a_i^{k_i-1}(a_i-1)$ 其中 $a_i$ 是一个素数.

因为除了 $a_i$ 的倍数其他数字均和 $a_i$ 互质。而 $a_i$ 的倍数有 $\\ \frac{a_i^{k_i}}{a_i}$ 个，所以

$\\ \phi(a_i^{k_i})=a_i^{k_i}-a_i^{k_i-1}=a_i^{k_i-1}(a_i-1)$

当初学习欧拉函数时我隐隐觉得它和容斥原理有什么联系，现在明白了，计数原理能解释欧拉函数。

欧拉函数的等式：

$\\ \phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$

由算术基本定理（正整数的唯一分解定理）： $\\ n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k}$

那么，在1——n内和n互质的数这样求解：先除减去能被一个素因子整除的数：

$\\ n-\frac{n}{p_1}-\frac{n}{p_2}-\cdots-\frac{n}{p_k}$

发现多减了，再加上两个素因子乘积计算结果： $\\ \frac{n}{p_1p_2}+\frac {n}{p_1p_3}+\cdots+\frac{n}{p_{k-1}p_{k}}$

再减去三个素因子的乘积计算结果： $\\ \frac{n}{p_1p_2p_3}+\frac {n}{p_1p_2p_4}+\cdots+\frac{n}{p_{k-2}p_{k-1}p_k}$

......

整理得到： $\\ \phi(n)=\sum\limits_{S\subseteq {p_1,p_2,\cdots,p_k}} (-1)^{|S|} \frac{n}{\prod\limits_{p_i \in S}p_i}$

它也就是： $\\ \phi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_k})$

实现代码：

由表达式得到：

int Euler(int n){    int ans=n,a=n;    for(int i=2;i*i<=a;i++){        if(a%i==0){            ans=ans/i*(i-1);            while(a%i==0){                a/=i;            }        }    }    if(a>1) ans=ans/a*(a-1);    return ans;}

递推（筛法）求欧拉函数：

void Euler(int Max){    for(int i=1;i<Max;i++)  phi[i]=i;    for(int i=2;i<Max;i++) {        if(phi[i]==i){            for(int j=i;j<Max;j+=i){                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);            }        }    }}

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