【bzoj1257】[CQOI2007]余数之和sum 数论乱搞

Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

HINT

50%的数据满足：1<=n, k<=1000 100%的数据满足：1<=n ,k<=10^9

Source

数论

---

k%i可以写成k-k/i*i，所以重点在求∑⌊ki⌋∗i

打表可得，当i逐渐增大时，∑⌊ki⌋在连续区间内的值保持不变。仔细想想其实⌊ki⌋的取值只有k√个。因为每个数都对应一段连续区间，所以[1,n]整个区间被分为k√个。于是我们可以枚举每个区间，复杂度是O(k√)。

设连续区间为[l,r]，区间内的值为w，则需满足w=⌊kl⌋=⌊kr⌋，使得l最小，r最大。

因为我们要枚举区间，所以l的值可以确定。

因为w=⌊kl⌋，w是下取整后的结果，是最小的。所以r=⌊kw⌋，w是最小的，r就是最大的。

这样在当前区间内，w的值就确定了，区间大小也确定了。因为要乘i，所以当前区间就是公差为w的等差数列。当前区间对答案的贡献为：

−l+r2∗w∗(r−l+1)

最终答案是：

n∗k−∑l+r2∗w∗(r−l+1)

代码：

#include<cstring>#include<cstdio>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long LL;int main(){    LL n,k;    scanf("%lld%lld",&n,&k);    LL ans = (LL)n * k;    if(n > k) n = k; // if i>k  k/i=0    for(LL i = 1,l,r,w;i <= n;i = r + 1)    {        w = k / i;        l = i; r = k / w;        if(r > n) r = n;        ans -= (r - l + 1) * w * (l + r) / 2;    }    printf("%lld",ans);    return 0;}