高等数学：第十二章 微分方程（2）一阶线性非齐次微分方程、全微分方程、可降阶的微分方程

§12.4  一阶线性非齐次微分方程

一、线性方程

方程

                                   Œ

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果 ，则方程称为齐次的；

如果  不恒等于零，则方程称为非齐次的。

首先，我们讨论Œ式所对应的齐次方程

                                       

的通解问题。

分离变量得  

两边积分得  

或         

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程Œ的通解。

将Œ的通解中的常数换成的未知函数，即作变换

两边乘以得  

两边求导得  

代入方程Œ得

 ， 

于是得到非齐次线性方程Œ的通解

将它写成两项之和

不难发现：

第一项是对应的齐次线性方程的通解；

第二项是非齐次线性方程Œ的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程

的通解。

解：

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

二、贝努利方程

方程

叫做贝努利方程。

当时，它是一阶线性非齐次微分方程

 

当时，它是一阶线性齐次微分方程

当时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性微分方程。

具体解法如下：

令  ，方程化为关于的一阶线性非齐次微分方程

【例2】求贝努利    的通解。

解 ： ，

 

 

 

§12.5  全微分方程

一、定义

一阶微分方程写成

                            Œ

形式后，如果它的左端恰好是某一函数的全微分，即

        

则方程Œ就叫做全微分方程。

二、全微分方程的求解

设方程Œ是一个全微分方程，则存在二元函数，使得

则  

方程Œ可写成                                      

如果是Œ的解，那么这个解也满足方程，故

因此  

这表明，Œ的解是由方程所确定的隐函数。

反过来，若方程确定了一个可微分的隐函数，

则    

两端对求导得

或  

即  

这表明，由方程所确定的隐函数是方程Œ的解。

综合上述两点， 我们有结论

全微分方程Œ的解是由所确定的隐函数，而由所确定的隐函数一定是方程Œ的解。

因此，若方程Œ的左端是函数的全微分，那么它的通解为

其中是任意常数。

三、方程Œ是全微分方程的条件

若，在单连通域内具有一阶连续偏导数，则方程Œ成为全微分方程的充要条件为

                                             Ž

在内恒成立。

四、全微分函数的求法

当条件Ž满足时，全微分函数可以通过对坐标的曲线积分获得

或

【例1】求解 

解：这里

所以这是全微分方程，有

于是，方程的通解为

五、积分因子

当条件不能满足时，方程Œ

就不是全微分方程。

如果找得到一个函数，使方程

成为全微分方程，则称函数称为方程Œ的积分因子。

例如方程 ，有

故该方程不是全微分方程。

但方程两端乘上因子以后，方程  

变成为全微分方程。事实上

因此，是上述方程的一个积分因子。

一般说来，积分因子的确定并不简单，而且积分因子往往不唯一的。不难验证和也是上述方程的积分因子。

如果对函数的微分运算十分熟练，往往可以通过观察得到积分因子。

【例2】用观察法求下列方程的积分因子， 并求其通解

1、

2、

解1：是一个积分因子，乘上该因子之后，方程成为

 ， 

故通解为  

解2：是一个积分因子

故通解为  

§12.7  可降阶的高阶微分方程

前面，我们主要讨论了一阶微分方程的求解问题，对于二阶及二阶以上的微分方程(即高阶微分方程)，原则上讲，可以通过适当的变量替换化成低阶的方程来求解。自然地，选择适合的变量替换往往是一件困难的事情。

下面，我们仅究三类较简单的高阶方程的求解展开讨论。

一、型的微分方程

微分方程

的右端仅含有自变量，只要把作为新的未知函数，那么就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分，就得到一个  阶的微分方程

同理  

依此类推，连续积分次，便得到了方程的含有个任意常数的通解。

【例1】求  的通解。

解：

其中 是任意常数。

二、型的微分方程

微分方程

的右端不显含有未知函数。

如果作变量替换 ，则 

方程可化为

这是一个关于变量的一阶微分方程，设其通解为

由，又得以一个一阶微分方程

因此，方程的通解为

其中是任意常数。

【例2】求微分方程

满足初始条件

的特解。

解：设，将之代入方程，得

分离变量有

两边积分，得

由条件，得

从而  

再积分，得 

又由条件，得 

故所求特解为  

注记：

求高阶方程满足初始条件的特解时，对任意常数应尽可能及时定出来，而不要待求出通解之后再逐一确定，这样处理会使运算大大简化。

三、型微分方程

微分方程

的右端不显含自变量。

作变量替换，利用复合函数求导法则，可将写成如下形式

方程可化成 

这是一个关于变量的一阶微分方程，设求出它的通解为

从而有  

分离变量 ，

再积分 ，便可得到方程的通解。

【例3】求  的通解。

解：设  ，则 

 

分离变量，得  

两边积分  

有  ，

分离变量，再积分，得

其中是任意常数。

【例4】一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需时间( 不计空气阻力 )。

解：取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球中心在原点。设物体的质量为，物体下落时与地球中心的距离为，地球半径为，在时刻物体所在位置为。

于是，速度，据万有引力定律，有以下微分方程  

其中：为地球质量，为引力常数，因

，且当时，(这里置负号是由于物体运动加速度的方向与轴的正向相反)，故

 ， 

于是方程可写成  

初始条件是  ， 

先求物体到达地面的速度，由 ，则

代入原方程，得 

分离变量，得 

再求积分，得 

将初始条件，代入得

于是  

在式中令， 得到物体到达地面时的速度为

这里取负号是由于物体运动方向与轴的正向相反。

下面再求物体落到地面所需时间 

分离变量，得

两端积分，得

由条件 ，得 

于是上式成为

在上式中令，便得到物体到达地面所需的时间为

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