bzoj1009[GT考试] dp+矩阵快速幂

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1009

题意：构造一个字符串（数字0-9）不含一个子串的个数

我这么蒟蒻肿么可能想到是dp嘛~~~

定义f[i][j]表示当前构造了i位，与模式串p匹配了前j位的方案数

然后枚举下一位填什么，然后乘上当前构造出来的和模式串匹配到k的方案数。

即是f[i+1][k]+=f[i][j]*A[j][k].(因为从j转移到k，可以用的数字不一定只有一个)

这里A[j][k]表示当前和p匹配到j,再加一位和p匹配到k的方案数

观察一下，这个式子满足矩阵的性质，于是就可以用矩阵来做。

终点是构造A[][]（矩阵大小不超过20*20）

可以这么搞

对于1-m的这么长的式子，假设当前处理到第j位，然后枚举下一个数字是什么，看能转到哪一个k，就把转移矩阵A[j][k]+1.

这种搞法的正确性一开始我非常的不理解，用了好长时间才弄明白。

我们可以这么看，把它想象成已经处理好next数组的p串，和文本串s(假想)来匹配

假设已经匹配到前j位，然后j+1位就会出现要么相同，要么不同，不同的话就相当于一个s和p匹配失配，j就会转到next[j](k)，转后就把这个转移路径+1.

构造的时候把j当成i而已，思路大致是：   假设前i位匹配成功，再加一位（枚举），然后当成一个新串s和p匹配，如果匹配了前k位，就把A[j][k]+1.

好多题解没有讲这个矩阵的构造原理，我也是花了好长时间阅读翻译代码的- -

真是蒟蒻啊~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

附上代码：

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>#include<queue>#include<cmath>using namespace std;int n,m,M;/**/int next[25];char p[25];struct Mat{int mat[25][25];Mat(){memset(mat,0,sizeof(mat));}};Mat operator *(Mat a,Mat b){Mat c;for(int k=0;k<m;k++){for(int i=0;i<m;i++){for(int j=0;j<m;j++){c.mat[i][j]+=(a.mat[i][k]%M)*(b.mat[k][j]%M);c.mat[i][j]%=M;}}}return c;}Mat operator ^(Mat a,int k){Mat c;for(int i=0;i<m;i++)c.mat[i][i]=1;for(;k;k>>=1){if(k&1)c=c*a;a=a*a;}return c;}int main(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&M);scanf("%s",p+1);int j=0;for(int i=2;i<=m;i++)    {    while(j>0&&p[j+1]!=p[i])j=next[j];    if(p[j+1]==p[i])j++;    next[i]=j;    }    Mat T;    for(int i=0;i<m;i++)    {    for(int j=0;j<=9;j++)    {    int t=i;    while(t>0&&p[t+1]-'0'!=j)t=next[t];    if(p[t+1]-'0'==j)t++;    if(t!=m)T.mat[i][t]=(T.mat[i][t]+1)%M;    }    }    Mat S;    S=T^n;    int ans=0;    for(int i=0;i<m;i++){ans+=S.mat[0][i];ans%=M;}printf("%d\n",ans);return 0;}