最大权闭合图及最大密度子图

最大权闭合图

例题：GDKOI2016D1T3寻宝

描述：求一个点集，使得点集中的任意后继也在点集中，求点集的∑wi/∑vi最大。
这道题就是一个最大权闭合图。首先二分答案，对于当前的答案p,我们这样连边。

对于一对依赖关系(u,v)，表示v是u的后继，那么我们就连(u,v,∞),设当前点权为fi，fi=p∗vi−wi,若fi>0,连接(S,i,fi),若fi<0,连接(i,T,−fi),当前是否可行就是∑fi,(fi>0)−mincut是否大于0。

最大密度子图

定义一个无向图G=(V,E)的密度D为该图的边数E与该图的点数V的比值,D=|E||V|.
我们可以转化一下图，把一条边看做一个点，点权为二分的密度p的相反数−p,而原图的每个点的点权为1,然后再连单向边E→u,E→v,表示u,v是E的后继，也就是说我们可以转换成最大权闭合图。

例题 【湖北省队互测day6】Asiram

题目描述

Asiram 是个可爱的男孩子, 而现在, 他想给他的妹子Ecila 买制作人偶的材料.

这时候, 他发现, 在可选的n 种材料之中, 两种材料之间的搭配, 有的会显得很漂亮, 而有的就显得不那么漂亮, 还有的不影响总体的美观程度.

为了量化两种材料之间的搭配的漂亮程度,Asiram 设置了一个“美观度”. 同时, 每种材料还有一定的价格,Asiram 并不是想用有限的金钱去实现尽量大的美观度, 而是希望他的每一分钱都能带来尽量大的美观度, 即,使美观度与花费的比值尽量大.

输入格式

输入第一行为两个整数n 和m

下面1 行, 有n 个整数, 第i 个数为材料i 的价格wi

再下面m 行, 每行三个整数a; b; v, 即材料a 与材料b 的搭配能带来v 的美观度

输出格式

一行一个浮点数, 表示美观度与价格的比值的最大值, 当你的输出与标答之间的相对误差小于10^ – 6 时即被判为正确.

样例输入

5 6

1 1 1 1 1

1 2 1

1 4 1

2 3 1

2 4 1

3 4 1

3 5 1

2.5

样例输出

1.25000000

样例解释

购买材料1,2,3,4 制作人偶是一种最优方案, 花费4 而能带来5 的美观度, 比值为1.25.

数据范围

对于10% 的数据,n<=5,1<=m<=10

对于40% 的数据,n<=50,1<=m<=500

对于100% 的数据,n<=500,1<=m<=5000,0 < wi,vi<=100

这道题就是一个最大密度子图的模版，但是这个图是有点权、边权的。

但其实连边方式差不多。(S,E,wE),(wE,u,∞),(wE,v,∞),(u,T,vu∗p).最后求一下∑wE−mincut是否大于0就行了。