01背包问题 -- 经典动态规划题

01背包问题

问题描述：有n个重量和价值分别为Wi，Vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求怎么挑选才能使价值最大；

首先可以使用搜索来看看，吧每件物品放入背包试试，找出最优解。

// 01背包问题// 问题描述：// 有一个背包可以存放W重量的物品，有n样物品，价值分别为v1,v2,v3,……vn，// 重量分别为w1,w2,w3,……wn，求怎么放才能让价值最大// 首先不使用动态搜索，只使用深度搜索来解决问题。// 搜索的方法是#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int MAX_N = 1005;int W;      // 背包最大重量int N;      // 物品数量struct Res  // 定义物品{    int weight;    int value;}res[MAX_N];int dfs(int i, int j);      // i代表搜索第几个物品， j代表还可以放入多少重量的物品int main(){    cout <<"请输入背包的最大存放重量";    cin >> W;    cout << "请输入物品的数量：";    cin >> N;    cout << "请输入每件物品的重量和价值:\n";    for(int i = 0; i < N; i++)        cin >> res[i].weight >> res[i].value;    int ans = dfs(0, W);    cout << ans << endl;    return 0;}int dfs(int i, int j){    int ans;    if(i == N)      // 如果搜索到最后一个        ans = 0;    else if(j < res[i].weight)  // 如果当前的物品不能放入背包        ans = dfs(i + 1, j);    else            // 比较挑选和不挑选的情况都尝试一下返回最优解        ans = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j - res[i].weight) + res[i].value);    return ans;}

每一次搜索都是要两次分支，所以如果物品一多就会运行效率特别慢。

运行截图：

可以看到如果只用搜索的话会有重复的调用。所以我可以吧第一次的计算记录下来

所以我们只要把第一次计算的结果保留到一个数组中记录下来，如果再次遇到重复的计算直接使用这个计算结果即可

// 使用二维数组记录结果，避免了搜索中的重复调用，优化搜索过程，称为记忆化搜索#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int MAX_N = 1005;struct RES{    int weight;    int value;}res[MAX_N];int W, N;int DP[MAX_N][MAX_N];int dfs(int i, int j);int main(){    cout <<"请输入背包的最大存放重量";    cin >> W;    cout << "请输入物品的数量：";    cin >> N;    cout << "请输入每件物品的重量和价值:\n";    for(int i = 0; i < N; i++)        cin >> res[i].weight >> res[i].value;    memset(DP, -1, sizeof(DP));    int ans = dfs(0, W);    cout << ans << endl;    return 0;}int dfs(int i, int j){    if(DP[i][j] >= 0)        return DP[i][j];    int reslut;    if(i == j)        reslut = 0;    else if(j < res[i].weight)        reslut = dfs(i + 1, j);    else        reslut = max(dfs(i + 1, j), dfs(i + 1, j - res[i].weight) + res[i].value);    return DP[i][j] = reslut;}

这样略微改进就可以优化整个程序，是可接问题的规模大幅度提高

然后要上一个真正的动态规划啦，其实根据上面的记忆化搜索就可以推出状态转移方程了：

DP = DP[i + 1][j];    （j < res[i].weight）DP = max(DP[i + 1][ j], DP[i + 1][ j - res[i].weight] + res[i].value)

根据整个状态转移方程就可以写出程序了

代码如下:

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>using namespace std;const int MAX_N = 1005;struct RES{    int weight;    int value;}res[MAX_N];int W, N;int DP[MAX_N][MAX_N];int main(){     cout <<"请输入背包的最大存放重量";    cin >> W;    cout << "请输入物品的数量：";    cin >> N;    cout << "请输入每件物品的重量和价值:\n";    for(int i = 0; i < N; i++)        cin >> res[i].weight >> res[i].value;    memset(DP, 0, sizeof(DP));    for(int i = N - 1; i >= 0; i--)        for(int j = 0; j <= W; j++)            if(j < res[i].weight)                DP[i][j] = DP[i + 1][j];            else                DP[i][j] = max(DP[i + 1][j], DP[i + 1][j -res[i].weight] + res[i].value);    cout << DP[0][W];    return 0;}