动态规划（经典背包问题）

多重背包：  
         多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求可得到的最大价值  
         多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用二进制分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可以用数字的二进制形式来解释  
       比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数  
       15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字  
        如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成  7以内任意一个数，即1、2、4可以组合为1——7内所有的数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于等于13的数，比如12，可以让前面贡献6且后面也贡献6就行了。虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。

 

完全背包 

如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可  

for (int i=0; i<n; i++)    for (int j=size[i]; j<=w; j++)        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

  
        f[w] 即为所求  
        初始化分两种情况：
        1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;  

        2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;  

 

完全背包：

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

计算顺序是：从左往右，自上而下：  每个物品可以放多次，前面的会影响后面的

（2）背包刚好装满

计算顺序是：从左往右，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

 

01 背包

有n 种不同的物品，每个物品有两个属性，size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问最多可带走多少价值的物品。  

int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值for (int i=0; i<n; i++)    for (int j=w; j>=size[i]; j--)        f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);

举例：

01背包

V=10，N=3，c[]={3,4,5}, w={4,5,6}

（1）背包不一定装满

      计算顺序是：从右往左，自上而下：因为每个物品只能放一次，前面的体积小的会影响体积大的

（2）背包刚好装满    

      计算顺序是：从右往左，自上而下。注意初始值，其中-inf表示负无穷

 

杭电 1712题 （属于分组背包问题）

ACboy needs your help
Problem Description
ACboy N这学期的课程,他打算花几天学习。当然,他将获得的利润来自不同课程根据天他花在它。如何安排N M天课程来最大化利润?

Input
输入包含多个数据集。一个数据集从一行包含两个正整数N和M,N是课程的数量,M是天ACboy。

接下来跟随一个矩阵[i][j],(1 < =i< = N < = 100,< = 1 j < = < = 100)。[i][j]表明如果ACboy花天i当然他将获得利润的价值[i][j]。

N = 0和M = 0结束输入

Output
对于每个数据集,你的程序应该输出一行,包含ACboy将获得最大利润的数量(分组背包问题)
Sample Input                        *
2 2
1 2
1 3

2 2
2 1
2 1

2 3
3 2 1
3 2 1
0 0
 
Sample Output
3
4
6

 

代码如下：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[150],a[150][150];
int main()
{
 int n,m;
 while(scanf("%d%d",&n,&m) >0 &&(n+m))
 {
  for(int i=1;i<=n;i++)
  for(int j=1;j<=m;j++)
  scanf("%d",&a[i][j]);
  memset(dp,0,sizeof(dp));
  for(int i=1;i<=n;i++)//分成n组
  {
   for(int j=m;j>=1;j--)
   {
    for(int k=1;k<=m;k++)//保证所有的 k属于组n
    if(j-k>=0 && dp[j] < dp[j-k] +a[i][k])
    dp[j]=dp[j-k] + a[i][k];
   }
  }
  printf("%d\n",dp[m]);
 }
 return 0;
}