【bzoj3675】[Apio2014]序列分割 单调队列+斜率优化

f[i][k]表示前i个元素分成k块的最大分数
f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]} (1<=j<i)
考虑最终的答案得到的方式
每次分裂之后，得到两边的和的乘积
那么，其实第k个块的贡献就是这个块与前面k-1个块的乘积
f[i][1]=0
f[i][k]以下简称f[i]
f[i]=f[j]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]
f[j]-sum[j]*sum[j]=-sum[j]*sum[i]+f[i]
f[i]表示过点(sum[j],f[j]-sum[j]^2)的斜率为-sum[i]的直线在y轴上的截距
要求f[i]最大，所以需要维护上凸壳
sum[i]是单调递增的，所以每次都只会在队尾增加点
询问的斜率是单调递减的，所以答案一定是单调向右移

用单调队列来维护上凸壳，每次在队尾增加一个点，然后从队首删除所有小于等于询问的斜率的点

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cmath>#include<algorithm>#include<iostream>#define maxn 100010#define inf 1000000000000000000llusing namespace std;struct yts{long long x,y;int id;}q[maxn];long long f[210][maxn];int g[210][maxn];long long sum[maxn];int n,m,K;double slope(yts x,yts y){if (y.x==x.x) return inf;return (y.y-x.y)/(double)(y.x-x.x);}int main(){scanf("%d%d",&n,&K);for (int i=1;i<=n;i++){long long x;scanf("%lld",&x);sum[i]=sum[i-1]+x;}for (int k=1;k<=K;k++){int l=1,r=0;  for (int i=k;i<=n;i++)  {  if (i>k){while (r>l && slope(q[l],q[l+1])>=-sum[i]) l++;f[k][i]=f[k-1][q[l].id]+(sum[i]-sum[q[l].id])*sum[q[l].id];g[k][i]=q[l].id;}yts x;x.x=sum[i],x.y=f[k-1][i]-sum[i]*sum[i],x.id=i;  while (r>l && slope(q[r],q[r-1])<=slope(x,q[r])) r--;  q[++r]=x;  }}printf("%lld\n",f[K][n]);int x=g[K][n];for (int i=K;i>1;i--){printf("%d ",x);x=g[i-1][x];}printf("%d\n",x);return 0;}