最大连续和

这个问题对我来说还挺难的，当初做DP时水过去了，但没彻底理解，这次打算好好分析一下，争取彻底搞懂。

首先，像：1 -1 2 2 3 -3 4 -4 5 -5这样的数列，想要找连续最大和，可以有很多种方法，从最慢的枚举O(n^3)到最快的动态规划O(n)，毫无疑问，我们要选择复杂度低的算法。所以我这里就只分析两种：分治法O(nlogn)和动态规划O(n)。

分治法O(nlogn)：

分治法一般分为如下三个步骤：

划分问题：把问题的实例划分成子问题。

递归求解：递归解决子问题。

合并问题：合并子问题的解得到原问题的解

要求连续最大和，最大的难点在于怎么处理负数，我们将数列拆分成两段后，递归得到两段中对应的最大值，那么区间中对应的单独的最大和已经求出来了，接下来要找分界点在区间中间的最大和，那么就分别从分界点从左和右找最大和，加起来与单独的最大和比较，这样就可以求出总的最大和。

int maxsum(int x, int y)//区间在[x,y){int v, left, right, maxs, m;if (y - x == 1) return a[x];//只有一个元素，直接返回m = x + (y - x) / 2;maxs = max(maxsum(x, m), maxsum(m, y)); //递归求解，分界点两边求出最大值v = 0; left = a[m - 1];for (int i = m - 1; i >= x; i--)//从分界点左边找连续的最大和{v += a[i];left = max(left, v);}v = 0; right = a[m];for (int i = m; i < y; i++)//从分界点右边找连续的最大和{v += a[i];right = max(right, v);}return max(maxs, left + right);//两边单独的最大值与分界点两边合并后最大值比较，主要考虑负数影响}

动态规划O(n)：

动态规划的要点是用一个数组存储过程中的状态，有三种方法：

第一种比较简单，只要简单的按照正负思考即可，但是最后需要遍历一遍。用一个B[n]数组存储状态，如果B[k-1]<0，那么加一个负数肯定会减少，所以直接从A[k]开始，B[k]=A[k]；如果b[K-1]>0，那么加一个正数肯定变大，所以B[k]=B[k-1]+A[k]。

状态转移方程为B[k]=max（B[K-1]+A[k]，A[k])

void dp(){int b[1050];int max = -1;b[0] = a[0];for (int i = 1; i < n; i++){b[i] = max(b[i - 1] + a[i], a[i]);if (max < b[i])max = b[i];}printf("%d\n", max);}

第二种方法就比较难想到了，但好处是最后不用遍历一遍，可以考虑数组的第一个元素，以及最大的一段数组(A[i], ..., A[j]),和A[0]的关系，有以下三种情况：

1. 当0 = i = j 时，元素A[0]本身构成和最大的一段，ALL[0]=A[0]
2. 当0 = i < j 时，和最大的一段以A[0]开始，ALL[0]+start[1]
3. 当0 < i 时， 元素A[0]和最大的一段没有关系，ALL[0]=ALL[1]

从上面3中情况可以看出。可以将一个大问题(N个元素数组)转化为一个较小的问题(N-1个元素的数组)。

假设已经知道(A[1], ...,A[n-1])中和最大的一段数组之和为All[1],并且已经知道(A[1],...,A[n-1])中包含A[1]的和最大的一段数组为Start[1]。那么不难看出 (A[0], ..., A[n])中问题的解All[0] = max{ A[0], A[0] + start[1], All[1] }。这样ALL[0]表示的就是总的0~N的最大和。倒序DP即可。

start数组记录的就是包括当前值的连续最大和，比如1，-2，3，-2，start[3]就截断从3开始。而all数组则考虑要不要加a[k]，说白了，就是三种情况：当前值不加，只有一个当前值，当前值加上前面的包含前一个值的最大和（要连续）。

状态转移方程为：all[k]=max(all[k+1]，a[k]，a[k]+start[k+1])

void dp(){int start, all[1050];start = a[n - 1]; all[n - 1] = a[n - 1];for (int i = n - 2; i >= 0; i--){start = max(a[i], a[i] + start); //start记录包括当前值的连续最大和，可能会从中间截断all[i] = max(all[i + 1], start); //就是三个比较，分成两个两两比较}printf("%d\n", all[0]);}

第三种结合了前两种的优点，不用遍历而且便于理解：

首先需要一个dp[k]存储第k个数之前的最大连续和，然后还要一个sum和temp，sum用来不断累加a[k]，如果sum>temp，就把temp更新为sum，并且如果sum<0，将sum重新赋值为0。

void dp(){temp = minx; sum = 0;//这是一种新dp做法，用temp存储当前最大值，temp一开始赋一个极小值for (int i = 1; i <= n; i++)//注意这里如果要倒序的话必须从1开始{scanf("%d", &a[i]);sum += a[i];if (sum > temp)temp = sum; //如果加上当前值更大，更新tempdp[i] = temp;//dp存储第i个数前的最大连续和if (sum < 0)//如果sum加上当前值小于0就舍去sum = 0;}}