动态规划 最长公共子序列 求长度和最长字符串

相信能搜这个算法的，一定是对它有所接触了，最长公共子序列（非连续）问题是求两个字符串中公有的字符组成的最长字符串（当然字符的先后顺序不能变）；

以南阳36为例：

最长公共子序列

时间限制：3000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：3

描述

咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

输入

第一行给出一个整数N(0<N<100)表示待测数据组数
接下来每组数据两行，分别为待测的两组字符串。每个字符串长度不大于1000.

输出

每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。

样例输入

2asdfadfsd123abcabc123abc

样例输出

36

这道题要求出a，b两个字符串的最大长度，这里加上求最长字符串。

arr[i][j]:

 0adfsd0000000a0     s0     d0     f0     表格的第一列是字符串a:asdf

表格的第一行是字符串b:adfsd

arr[i][j] 代表当a的串到a[i]，b的串到b[j]的时候a，b的最长公共子序列长度。从前至后更新数组。

 0adfsd0000000a011111s0     d0     f0     当第二行中a只有一个字符‘a’，所以当第一个其等于b中‘a’时，后面的都是1。

 0adfsd0000000a011111s012222d0     f0     同理，第三行最后一个不超过2。

 0adfsd0000000a011111s012222d012223f012333

更新完毕，右下角为公共子串的最大长度。

图中红色数字位置为a[i]=b[j]处，长度由a[i-1][j-1]加1,（若取a[i]=b[j]，那么长度变长，这个长度要在a[i]、b[j]之前的基础上变/斜对角位置）

当a[i]!=b[j]那么arr[i][j]取max[（a[0~i]与b[0~j-1]的最大长度）,(a[0~i-1]与b[0~j]的最大长度)]；

so：求最大长度的代码为：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>#include<cstring>   //memset函数头文件using namespace std;string a,b,s;int al,bl,n;int arr[1001][1001];void dp()   //更新数组{    for(int i=1;i<=al;i++)    {        for(int j=1;j<=bl;j++)        {            if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;</span>

<span style="font-size:18px;">              //i-1，j-1是因为a，b字符串是从0开始的</span>

<span style="font-size:18px;">              //但是arr数组是要从arr[1][1]开始更新</span>

<span style="font-size:18px;">              //因为i=0||j=0→arr[i][j]=0;不需更新            else  arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);        }    }}int main(){    while(cin>>n)    {        while(n--)        {            memset(arr,0,sizeof(arr));            cin>>a>>b;            al=a.length();            bl=b.length();            dp();            cout<<arr[al][bl]<<endl;        }    }    return 0;}</span>

接下来我们看一下怎么求这个最长的字符串：

求长度是从前向后更新数组，但是想要求字符串需要从后向前看。

 0adfsd0000000a011111s011222d012223f012333图中黄底红字部分为相等字符部分：用数组s记录相等点的字符，k为s下标，初值0；

a的长度al，b的长度bl；i=al；j=bl；

判断a[i]=b[j]?如果相等：s[k]=a[i]=b[j];k+1;由于相

                     如果不等：(1) 如果arr[i][j]==arr[i-1][j]证明还可以向上移动

                                          （例：长度不会由4→2，漏掉3）所以此时可以向上走：i--；

                                       (2)如果arr[i][j]！=arr[i-1][j]，证明再向上走就会漏掉一个相等点

                                            求得s长度不会最大相等长度。所以向左走：j--；

求得s="dsa"；

因为是逆序寻找所以字符串是倒序，对s进行输出时要倒序输出！

代码如下：

<span style="font-size:18px;">#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;    string a,b,s;    int al,bl,n;    int arr[1001][1001];void dp(){    for(int i=1;i<=al;i++)    {        for(int j=1;j<=bl;j++)        {            if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;            else  arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);        }    }}int main(){    while(cin>>n)    {        while(n--)        {            memset(arr,0,sizeof(arr));            cin>>a>>b;            al=a.length();            bl=b.length();            dp();            cout<<"最长公共子序列长度："<<arr[al][bl]<<endl;            int k=0;            for(int i=al;i>=0;)            {                for(int j=bl;j>=0;)                {                    if(a[i]==b[j])                    {                        s[k]=a[i];                        i--;                        j--;                        k++;                    }                    else                    {                        if(arr[i][j]==arr[i-1][j])                            i--;                        else                            j--;                    }                }            }           cout<<"得到的字符串为：";            for(k--;k>=0;k--)    //逆向输出s                cout<<s[k];            cout<<endl;        }    }    return 0;}</span>