bzoj 3669: [Noi2014]魔法森林

3669: [Noi2014]魔法森林

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Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17





【输入样例2】


3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。



【输出样例2】


-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

Source

题解：并查集+LCT

先说一下这个题中学到的一个不错的思想：化边权为点权，之前写树链剖分的时候曾经把边权下放为点权，然后进行处理，但是这种方式用在这里显然不合适，因为LCT 动态树会旋转换根，所有无法下放，那么怎么做呢？因为不管怎么改变树的形态，两个点确定一条边的关系是不变的，所有我们可以把边缩成一点，然后把边权给这个点的点权，然后从缩成的这个点向这条边的两个端点连边，这样就可以解决边权的问题。

因为这个题要维护两个边权，并且要求最后的答案使路径上两个最大边权的和最小，直接两个一块处理，很难搞。所有我们把一个边权按从小到大的顺序排序，然后每次往树中加边，有点类似最小生成树的方式。但是加边时必须保证不能出现环，如果出现环怎么办呢?我们可以在lct中维护每个路径中最大值所在的位置，如果加入该边出现环的话，就判断一下这条路径上的最大值是否大于当前边的权值，如果大于，就拆边建立新边。LCT中只是维护了一个权值，那么我们要求两个权值的和最小，那么如何更新答案能？其实很简单，判断一下起点和终点是否连通，如果连通就用当前边的未加入LCT的权值和LCT中维护的1到N的最大值来更新答案，因为是升序排列，所有可以保证该边未加入LCT的权值一定是最大的。那么肯定有疑问，会不会1到N的路径上根本就没有新加入的那条边呢，那么这样这条路径上一个权值的最大值不就多算了吗？首先这种情况会发生，但是并不会影响最终的答案。因为如果路径上没有这条边，那么之前1到N就是连通的，那么之前在加入1到N中某条路径的时候一定已经计算过正确的答案了，因为当前边的未加入LCT的权值和LCT中维护的1到N的最大值一定比那个答案要大，所有不会有影响。

总之，思路清晰+不手残，就可以AC了。

说一下自己遇到的一个问题，就是在splay时，如果每次都用memset给st数组清零的话，会TLE，慢到你不能想象

如果不需要拆边而两个点又在一个集合中的话，后面的连边操作就跳过。

#include<iostream>  #include<cstdio>  #include<cstring>  #include<algorithm>  #define N 300003  using namespace std;  int n,m;  int fa[N],ch[N][2],maxn[N],key[N],rev[N],size[N];  int mp[N],top,st[N];  struct data  {      int a,b,x,y;  };data tr[N];  int cmp(data a,data b)  {      return a.a<b.a;  }  void pushdown(int x)  {      if (!rev[x]) return;      rev[ch[x][0]]^=1; rev[ch[x][1]]^=1;      swap(ch[x][0],ch[x][1]);      rev[x]=0;  }  int isroot(int x)  {      return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;  }  int get(int x)  {      return ch[fa[x]][1]==x;  }  void update(int x)  {      int l=ch[x][0]; int r=ch[x][1];      size[x]=x;      if (key[size[l]]>key[size[x]]) size[x]=size[l];      if (key[size[r]]>key[size[x]]) size[x]=size[r];  }  void rotate(int x)  {      int y=fa[x]; int z=fa[y]; int which=get(x);      if (!isroot(y))       ch[z][ch[z][1]==y]=x;      fa[x]=z; ch[y][which]=ch[x][which^1];  fa[ch[y][which]]=y;      ch[x][which^1]=y; fa[y]=x;      update(y); update(x);  }  void splay(int x)  {      top=0;      st[++top]=x;      for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])       st[++top]=fa[i];      for (int i=top;i>0;i--)       pushdown(st[i]);      while (!isroot(x))      {          int y=fa[x];          if (!isroot(y))           rotate(get(x)==get(y)?y:x);          rotate(x);      }  }  void access(int x)  {      int t=0;      while (x)      {          splay(x);          ch[x][1]=t; update(x);          t=x; x=fa[x];      }  }  void rever(int x)  {      access(x); splay(x); rev[x]^=1;  }  void link(int x,int y)  {      rever(x); fa[x]=y;  splay(x);   }  void cut(int x,int y)  {      rever(x); access(y); splay(y);      fa[x]=ch[y][0]=0; update(y);  }  int find(int x)  {      if (mp[x]==x) return x;      mp[x]=find(mp[x]);      return mp[x];  }  int seek(int x,int y)  {      rever(x); access(y); splay(y);      return size[y];  } int main()  {       scanf("%d%d",&n,&m);      for (int i=1;i<=m;i++)       scanf("%d%d%d%d",&tr[i].x,&tr[i].y,&tr[i].a,&tr[i].b);      sort(tr+1,tr+m+1,cmp);        for (int i=1;i<=n;i++)       mp[i]=i;      int ans=1000000000;      for (int i=1;i<=m;i++)      {          int k=find(tr[i].x);          int t=find(tr[i].y);          if (k!=t)           {              mp[t]=k;           }           else          {           int l=seek(tr[i].x,tr[i].y);           if (key[l]>tr[i].b)            {              cut(l,tr[l-n].x);              cut(l,tr[l-n].y);            }           else            {              if (find(1)==find(n))               ans=min(ans,key[seek(1,n)]+tr[i].a); continue;           }          }          key[i+n]=tr[i].b; size[i+n]=i+n;          link(tr[i].x,n+i);           link(tr[i].y,n+i);          if (find(1)==find(n))          {          int l=seek(1,n);  ans=min(key[l]+tr[i].a,ans);          }      }      if (ans==1000000000)       printf("-1\n");      else       printf("%d\n",ans);      return 0;  }