我大一的线性代数学习

    我的大一的线性代数：借此怀念一下我大一的线性代数的学习

一、扯扯虚的

    进入大一，学的是计算机专业，说是计算机专业，不过看看大一的课程，就是各种数学，其中就有线性代数。

    线性代数上课，最重要的就是讲怎么学数学，嗯，就是讲故事！！第一节课是说“兵法”和“剑法”。剑法是什么，是“一人敌”，再怎么练只能是一个人打，威力很小；“兵法”是“万人敌”，学习“兵法”，统兵打仗，能改变大局。“兵法”虚，“剑法”实，但是兵法比剑法厉害多了！运筹帷幄之中，决胜千里之外！这就是我记住的第一个故事。

    还有好多有意思的故事，就不一一讲了。讲课也是一节课讲的不多，一个概念从不同角度讲来讲去，导致我从开学初形成了这么一种印象，这老师有意思，讲故事，神乎其神的，一套一套的，看来线性代数还要靠自己学，老师讲不出什么。于是，第一学期，我就在这种思想下，上课就是睡觉，线性代数靠的是课下的自学，做题，一定比老师留的题目多，考试前的突击，考试还算不错，但实际上感觉收获不大，尤其是没有找到数学感觉，感觉，感觉！

    我理解嘛是数学感觉：我的理解数学感觉是看到和数学相关的东西自然推理出来的结果。不需要什么严格的数学证明，只需要感觉，我感觉这是对的，然后跟着感觉走。因此，我再学习线性代数的时候，注重的是直观的理解，推导过程知道了，记住一些结论、定理，对于证明，我知道书上有就可以了，安心使用就好了。

    记住一些结论，没必要做什么都要自己去推到一遍，什么都做很费时间，记住一些半成品。这种方法也是老师教的（其实高中老师也有教），不过无心的人听不出什么，觉得没有教什么。

    改变对老师的看法是从第一学期结束开始的，刷知乎和线性代数、矩阵有关的文章（推荐文章我会在本文最后写下来），我发现我是何其幸运！多深人困惑在基本的线性代数直观的理解之中，我回忆我的线性代数老师，老师教的不是那些具体的解题技巧，看上去这些内容需要自己学习，怪老师怎么不好好教课，但事实上，老师教的数学的一种直观的思维方式才是最重要的！听上去浅显易懂，觉得没教什么东西，但是对比之下，我发现老师教授的是一种俯瞰代数的上帝视角，传授的数学思想是功底薄弱者所难以教授出来的。

    所以大一第二学期，浪子回头，我上课认真听讲（大俗话！！），听得是一种数学的感觉，不是哪道题具体的解法，怎么行变换，怎么变成上三角什么的，听得是自己做题做不出来的部分。第二学期时间比较紧，没有怎么刷题，不过最后考试依然不错，我想，这就是比较理解的结果吧。

    考试的试卷也不太一样：老师教的是数学的直观理解，考试自然不会侧重具体题目的解法，一般就是两个小时，5、6道大题，计算量很小，不过需要清晰地数学的思路，才能拿比较好的分数。

    线性代数讲课顺序：

    参看《线性代数》数学专业用   作者：李尚志

    老师讲课是从解多元一次方程组引入的，把未知数拿掉，系数写成系数矩阵（非齐次的系数矩阵和齐次的增广阵），系数矩阵行变换就是相当于原来方程的相互加减，很是自然。之后是线性空间，再之后引入的矩阵各种概念也很是自然，包括大家普遍觉得不理解的行列式，就是变换前后的面积比（数学分析中的雅可比行列式还有印象？就是前后面积比，不过要取绝对值，因为会有左右手系，至少我认为绝对值的目的就是消除左右手系的影响，因为面积于手系无关）。虽然我还没太理解逆序对到底代表什么（不过隐隐约约感觉和变换前后的左右手系有关，还不太知道）。

    第一学期末、第二学期初教的是多项式，因为这部分内容不太搭界，因此放在了一个前后都不太连贯的阶段——两学期交界。

    大一第二学期讲的线性变换、若当标准型、二次型、内积。

    讲线性变换引入特征值，特征多项式，特征向量，特征根，相似、相合等概念，从几何的角度理解起来也比较容易（老师一直强调：代数几何熔一炉）。没有什么“奉天承运皇帝召曰”的内容（老师把一些难以理解，硬要学生学会的内容称作“奉天承运、皇帝召曰”，如同济版的一开始就讲行列式、逆序数）。

    总的来说：我学习线性代数：重视感觉、弱化证明

二、我还记得点实的

    现在是2014年8月22日，距离我完整的学完线性代数已经过去一个半月了，该忘的也都忘干净了，如果说我还记得什么，那就应该是精华所在了，不是什么技巧，而是对于线性代数的理解。

 

 

   “空间为体，矩阵为用。”这句话我一定不会忘。

    意思就是，在线性空间中，用矩阵表示线性变换。

    线性空间：可以说符合八条公里，也可以说对加法对数乘封闭。对加法封闭就是有0有负数，对数乘封闭就是有1有自己。一个维度，我直观的理解就是在空间中一条一条过原点的直线。一个线性空间首先我脑海中有一个点，是原点，有几条直线穿过远点这个空间就有几个维度。可以将这几条直线看作是坐标轴，将一条从原点出发的线段在没条直线上的投影看作是那条线段在某一维度上的长度，将所有的直线按照先后编一个顺序，将投影写成向量形式，在这个坐标系下，这个向量就可以表示这条线段。

    总结如下：线性空间从几何的角度上，就直观的想象成一个大空间吧!我也不知道该怎么描述。坐标系就是线性空间中的度量标准，这个度量标准是一条一条经过原点的直线。用每个向量在条直线上的投影长度来唯一刻画一个向量。

    矩阵为用：参看孟岩先生博客，在本文最后附有。我的理解就是一个描述变换的方阵，将一个向量映射到另一个向量，为什么会有这样的变化呢？一是向量在变，而是坐标系在变。这在孟岩先生的第三篇博客中叙述非常清晰。

 

 

    特征值：n阶方阵有n个特征值，这是我记下的一个结论。什么叫做特征呢？在一个空间中有向量，这是静态的，矩阵描述的是动态的变化。动态的矩阵描述的是向量的变化，这个混沌的变化中有没有什么永恒不变的呢？（当然有！混乱的表象下面总会有不变的几条定律在支配。）在看似无规律的变化中，不变的就是特征值。特征值描述的是某个方向上的向量经过矩阵变换之后和自己同一条线（直观理解；突然想到了数学上的毛球定理，可查找“抚不平的毛球”，真是脑洞大开），n阶方阵一定有n个这样的方向，在这些方向上的向量变换之后还在自己这条直线上，变换之后和之前向量大小的比值就是特征值。

    特征向量：就是随便在上述的这些直线中取一段，作为一个表示这条直线方向的线段。

    其实这么理解之后，特征值和特征向量就直观了许多。

 

 

    什么事相似呢？就是一个变换在两组基下的不同表示。B=P-1AP,BX=P-1APX。写到这里，我意味深长地笑了。这两个式子是什么意思呢？首先有一个空间，有一个线性变换在这个空间有两种不同的表示方法，有两种不同的方法是由于有取了两组基，基变换矩阵实用P表示。用B作用向量X，假设结果是Y，那P-1APX是什么意思呢？从右边开始，X在一组坐标系下本来是要用B作用，但是来了一个事多的非要弄到另一个坐标下，成吧，PX相当于把X调整到另一个坐标系下，这个向量本身没变，就是度量标准变了，按照我最开始的描述，是在空间中的那几条直线角度变了。PX弄到了另一个坐标系下，用变换A作用，其实A和B效果是一样的，不过是度量标准不同，作用之后就变成了APX，这时候，不成啊，你便到了另一个坐标系还没变回来呢，简单，P-1APX。于是，就这样，我就这么理解了相似矩阵。

    总结一下：相似矩阵就是在相同空间中的相同变换在不同坐标系下的描述。

 

 

    若当标准型是这样，我们看一个矩阵，里面一大堆数乱七八糟的，很难捉摸！怎么办呢？聪明的数学家想到了这样一种形式，可以简单明了的描述一个矩阵，这就是若当标准型。若当标准型是一个大家族，其中有一个小兄弟最英俊，最好看，叫做对角阵。

    不是每个方阵都能相似到对角阵。

    对角阵的对角是怎么来的呢？

    刚才说了每个n阶方阵都能找到n个特征值，n个特征值对应着n个特征向量，对不起大家，我刚才打了个马虎眼，其实不完全是这样的。

    首先说一下子空间的概念。什么是子空间呢，弱弱的感觉一下，就是一个小空间，当然，对加法对数乘封闭。没感觉到继续感觉，附属于大空间，从零点开始，无限延伸（脑洞大开：空间的偶像也是旅行者一号）。当有了n阶方阵之后，一个大空间被分成几个子空间，怎么分呢？按照特征值分，名字是什么呢？就是特征值。好，现在我们假设一个n维空间根据一个变换方阵已经被分成了几个子空间。

    我们现在关注属于某一个特征值的子空间，这时，我的理解是划分层次，有的层次高，有的层次低。什么意思呢？重新审视一下若当标准型再继续看。层次高的经过变换会占有本层和低层，什么意思呢？就是若当标准型每个若当块右上角小小的1.不要小看这个1，这个1代表了属于每个特征值的层次关系。特征子空间，特征向量都是最底层的。于是就有了特征子空间，根子空间；特征向量，根向量这个微小的差异，就是在某一特征值的自空间中划分层次。最底层的特征子空间中的向量怎么变换都是到自己的特征空间内，高层的会入侵低层空间。嗯，这就是我脑洞大开的结果，凭空给属于一个特征值的子空间分了层次。不过这令我印象深刻。

 

 

欧式空间

欧式空间的数域是实数域，意思就是针对实数的运算。在这个属于上针对两个N维向量，可以进行内积的运算（内积、点积、数乘都是一个意思）。选定一组基，每个向量用自己在这组基下的坐标表示，于是两个向量的乘法，可以用基之间相乘的矩阵（Gram方阵、度量矩阵）和坐标相成表示。最特殊的一种情况，就是选型的内积是一组标准正交基，这样，两个向量做内积结果就是向量的对应分量相乘。

定义了内积，可以定义单位向量、角度，导出一个Cauchy-Schwarz不等式，这个不等式的成立是由于向量之间的夹角《=1导致，具体写出来就是柯西定理。

 

 

标准正交基

正交就是点积为零，或者说垂直，或者说投影为零。给了一组线性无关向量，怎么化成正交的呢，很直观的一种方法就是取一个向量，减去它在之前取的向量上的投影。就是Gram-Schmidt正交化方法。

这种方法用矩阵表示可以表示成为一个上三角矩阵，为什么呢？直观的想一下刚才的方法，方才每取一个向量，之和之前的向量正交就可以。于是我可以把最开始给的向量排成一个矩阵，没一个向量是一列，为了正交化，当前向量要减去在之前向量上的投影，也就是之前向量的a倍，通过选取a来控制去掉的投影的大小，运用矩阵分块运算的思想，把每一列看作一块，于是新的一个向量只和和前i个向量有关。可以用一个上三角阵表示。

 

 

矩阵相合

矩阵相合其实就是点积在不同基下的表示。

 

 

正交变换

正交变换就是保证向量之间的内积不变，就是相当于提着一个坐标系的原点，可以旋转，可以对称，于是这个变换的特征值有三种可能，1，-1，或者复数但是模等于1.如果是1的话，相当于特征向量不变，-1的话，就是对称变换，复数的话就相当于旋转，于是这就是实数域上的正交变换。

正交变换可以用正交方阵表示，于是这个方阵的特征值就是1，-1，或者a+bi其模为1.对于一般的对称实方阵来说（对称实方阵的特征值都是实数），可以正交相似到对角阵，对角阵的元素就是特征值。

 

 

酉空间

在实数域上定义了向量的乘法，在复数域上呢？由于在复数域上向量自己点乘自己结果有可能小于零，所以在复数域上，向量之间点乘，左边的向量要共轭之后再和右边的向量点乘，这样就导致常数乘到不同的向量会导致不同的结果，乘到左边结果取共轭，乘到右边结果乘上常数本身。

类似于实数域，复数空间也就是酉空间上也可以两个向量正交，也可以在酉空间的两组标准正交基作变换，变幻的方阵就是酉方阵。

酉方阵的定义和正交方阵非常类似，只不过数域是复数域。这样，两者的性质也有很多的相似点，比如两者的行向量、列向量都可以作为一组标准正交基。

 

    一时之间也想不到什么能非常重要了，那就先写这么多吧。

 

 

三、拓展资料

1.李尚志 《线性代数的兵法与剑法》

    虽然课时不多，不过我认为作为线性代数的导航再好不过（李老师将常说自己所教的就像是车载导航提示走哪条路，之后的学习就沿当前道路行驶即可）

2.李尚志 《数学大观》 网易

    看网易上的评论就知道了

3.理解矩阵

    原作者的描述清晰，我这里只作引用

    理解矩阵（一） 孟岩http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

    内容提要：大多数学生对于线性代数感到莫名其妙；工科学生会用，但是不清楚最基本的问题，列举问题；导致上述情形原因是直觉丧失；解释核心概念，“空间核心是容纳运动”，“矩阵本质是运动的描述”，“在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动”。

    理解矩阵（二）孟岩http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018

    内容提要：“矩阵是线性空间里跃迁的描述”；“矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”；相似矩阵。

    理解矩阵（三）孟岩http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397

     “固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”

4.matrix67 我们需要怎样的数学教育

    http://www.matrix67.com/blog/archives/4294

5.知乎提问 如何理解线性代数