抽象代数——代数结构

最近在上一门课叫做信息安全的数学基础，讲得是数论和抽象代数。最近学完了代数结构，复习了一下，感觉有一点收获，在此写下来我的体会。我不会强调定理的证明等，而会强调一些我个人的理解，和对这部分知识的感觉。

 

教材采用国防科技大学出版社李舟军老师的《抽象代数》。在此赞美一下李舟军老师。李舟军老师上课讲授通俗易懂，虽然抽象代数很是困难，但是李老师总能通俗易懂的讲出来。大赞！这学期课程改革，将数论和抽象代数合二为一，课时减少，李老师给大家加课，就是为了把知识点讲明白，让大家融会贯通，这样的老师怎能不爱！

 

第一章、代数结构概论

本章主要讲了代数结构。

 

从小我们就接触到数和运算符号，比如a+b，ln(x)，这些运算都包括两部分，分别为运算的对象和运算的符号，运算对象就比如正整数、有理数集合等，运算符号就是对于运算对象进行某种运算的一种符号的表示。符号就是符号，就是人们约定俗成的对于某种运算的一种符号表示。一个符号可以解释成一种运算，也可以解释成另一种运算。

         运算对象的集合和运算的集合两个合成一个代数结构。

 

封闭：什么是封闭呢？首先要有运算，然后要有一个运算对象的集合，这个集合中元素的选取是和运算函数有关的。这个集合有个神奇的性质是从这个集合中取元素进行运算，结果一定在这个集合中。这就是封闭，而封闭套着封闭是一个什么情况呢？就是一个集合套着另外一个集合。有一些集合是可以被拆成几个小集合的，这些小集合各自封闭，小集合就不可以被拆开了，因为这已经是最基本的封闭的集合了，因此，如果有一个大集合是封闭的，那么如果这个大集合要么包含整个小集合，要么不包含。

封闭是一层一层嵌套的一种感觉，最小的集合不能被拆开，可以想象成一圈套着一圈。

 

交换律：从小学开始就学习到加法有交换律和结合律，但是到底为什么这两条性质被单独拎出来说呢，他们到底有什么神奇的地方呢？这两条性质到底意味着什么？之前并没有深入的思考，这两天想了想，觉得有这样一点可以分享，首先是交换律。对于一个运算和符合这个运算的集合来说，交换律意味着什么？集合中的元素进行运算可以生成更多元素。对于一个新的元素，生成的基本单位是否有顺序的要求，这就是交换律在运算对象集合中的体现。一个运算满足交换律说明这个运算对于元素进行运算的先后顺序并不要求。对于交换律有限制的运算，比如矩阵乘法，矩阵集合的乘法运算不满足交换律。

交换律是基本元素没有计算顺序上的先后差别的感觉。

不满足交换律：函数复合

 

结合律：结合律是什么意思？结合律难道不是很自然的吗？探究结合律背后的意思会发现其实结合律背后很有意思。一开始我想不到什么运算是不满足结合律的，后来在上网看资料的过程中突然想起来，向量的点乘是不满足结合律的，为什么不满足？因为两个向量点乘之后就成为了一个标量。因此，点乘的结果就已经不在向量的集合之中。所以，结合律实际上是表示，一个运算的结果是否能够保持运算元素的性质。

结合律就是计算结果还是同类的感觉。

不满足结合律：向量点乘。

 

子代数结构：如果理解了我刚才所说的封闭的嵌套这种感觉，那么子代数结构就是封闭大集合中的小集合。

 

生成子代数结构：有一个小集合和运算，这个小集合并不一定封闭，那么我就进行扩充。我能够找到这样一个集合，是包含整个小集合的最小的封闭集合。

对于一个计算，我有很多圈圈，都表示对这个运算封闭，我随便画了一个圈，这个随便画的圈不一定封闭，好，下面我就在封闭的圈中找，看哪个圈相对小，但是又包含我画的这个随便的圈，这个圈就是生成的子代数结构。

 

同态：针对两个代数结构。同态可以是这样一个逻辑顺序来理解。首先我有一个代数结构，元素集合为G1，然后我又有一个代数结构，元素集合为G2，当然我还有运算符号的集合，Ω1，Ω2。我有这样两个函数f和g，这两个函数的功能分别是将元素和符号进行从1到2的映射。运算符号的阶相同称之为同型。f将元素进行映射，映射之后有个问题，我的G1和Ω1在运算上是符合运算律的，会不会映射之后我的运算律就不满足了呢？所以，我要进行验证，如果对于G1，Ω1中的每个运算，映射之后，还是满足G2，Ω2的运算规则，那么第二个集合对于这个映射之后的运算是没有矛盾的，可以说两个代数结构是同台的。如果元素是双射，那么连个代数结构就是同构的。

同态是一个代数结构满足的运算映射到另一个代数结构，运算性质不被破坏。

 

同余：一个运算的对象元素划分等价类，从集合中取元素进行计算，结果一定也在相同的等价类中。

同余就是计算对象不是每一个单独的元素，而是一个一个的类，一个类中的任何元素可以相互代替，最后的结果也在这个类中。运算对象的来源是类中的元素，结果也是类中的一个元素。这是不确定和确定的融合。确定的是运算集合，不确定的是运算集合中的哪些元素进行计算。就是这样一种感觉。

 

已知代数结构构造新代数结构：      

商代数结构：感觉本质和同余一样。<G1，Ω1>是原来的运算结构，新的运算结构<G/R,Ω2>是由G1，Ω1生成的结构，新的结构的运算对象都是集合，都是根据同余划分的同余类。Ω2的运算对象都是针对集合。通常的运算结构的运算对象是一个确定的元素，针对这些确定的元素进行运算。划分同余类之后可以用集合来计算，集合和集合运算的结果是另一个集合，新的集合是老元素的划分。

说到这里，也就清晰了，商代数结构的本质就是同余，一个结构的商代数结构带来的变化是从元素变为集合。

 

积代数结构：将单独的元素转化为向量。积代数结构需要多个代数结构进行积运算。

积代数结构是将代数结构的元素组合为一个向量，新运算的对象是向量，感觉一下。

说到这里怎能不上题，下面上几道我觉得有意思的题目：

 

 

上面两道题是很基础的题目，感觉很有意思 

 选这道题，是因为我想了大一时候教我线性代数的李尚志老师，李老师造诣极高，现在学着学着新的东西总能想到李老师说的道理。李老师造诣极高，话虽说得话通俗易懂，但是句句回想起来都是经典！大爱李老师！En就是分圆多项式的解，En的乘法就是旋转的结果，把一个圆分成n份，对应着整数的1-n。体会一下。在此想念李老师！