bzoj4517【SDOI2016】排列计数

4517: [Sdoi2016]排列计数

Time Limit: 60 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 576  Solved: 358
[Submit][Status][Discuss]

Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

Source

鸣谢Menci上传

组合数取模+错排问题

首先很显然答案等于C(n,m)*f[n-m]，其中f[n-m]表示(n-m)个数全部排错位置的方案数。

组合数取模只要预处理阶乘和阶乘的逆元就可以，问题在于如何快速求f数组。

对于f数组，有一个递推关系f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)，这个错排方案的公式还是要记住的...

证明如下：

1-n一共n个数全部排错，假设1排到了位置k(k≠1)。

如果k排到位置1，那么对于剩余(n-2)个数全部排错，方案数是f[n-2]。如果k没有排到位置1，考虑位置k到位置1有一个【传送门】，那等于是对于2-k的数全部排错，方案数是f[n-1]。而k有(n-1)种取值，则f[n]=(f[n-1]+f[n-2])*(n-1)。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<cstring>#include<algorithm>#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)#define ll long long#define maxn 1000005#define mod 1000000007using namespace std;int t,n,m,x,y;ll f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}int main(){fac[0]=1;F(i,1,1000000) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[0]=1;inv[1]=1;F(i,2,1000000){x=mod/i+1;y=x*i-mod;inv[i]=inv[y]*x%mod;}F(i,1,1000000) inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%mod;f[0]=1;f[1]=0;F(i,2,1000000) f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod*(i-1)%mod;t=read();while (t--){n=read();m=read();printf("%lld\n",fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod*f[n-m]%mod);}return 0;}