最长公共子序列(LCS)

一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，

LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

1、如果xm=yn，则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。

2、如果xm!=yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }

LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

dp[i][j] = 0 如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] } 如果X[i-1] != Y[i-1]

求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。

代码如下：

import java.util.Random;/* * 最长公共子序列 */public class LCS{      char[][] b;    int[][] c;    public static void main(String[] args){          //设置字符串长度          int substringLength1 = 10;          int substringLength2 = 15;  //具体大小可自行设置          // 随机生成字符串          String x = GetRandomStrings(substringLength1);          String y = GetRandomStrings(substringLength2);          Long startTime = System.nanoTime();          // 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度          System.out.println("substring1:"+x);          System.out.println("substring2:"+y);          x=" "+x;        y=" "+y;        LCS lcs=new LCS();        lcs.lcsLength(x, y);        lcs.printLcs(x, x.length()-1, y.length()-1);    }    public void lcsLength(String x,String y){       int m=x.length();       int n=y.length();       b=new char[m][n];       c=new int[m+1][n+1];       for(int i=1;i<m+1;i++){           c[i][0]=0;       }       for(int i=0;i<m+1;i++){           c[0][i]=0;       }       for(int i=1;i<m;i++){           for(int j=1;j<n;j++){               if(x.charAt(i)==y.charAt(j)){                   c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;                   b[i][j]='m';               }else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){                   c[i][j]=c[i-1][j];                   b[i][j]='t';               }else {                   c[i][j]=c[i][j-1];                   b[i][j]='r';               }           }       }   }   public void printLcs(String x,int i,int j){       if(i==0||j==0)           return;       if(b[i][j]=='m'){           printLcs(x, i-1, j-1);           System.out.print(x.charAt(i));       }else if(b[i][j]=='t')           printLcs(x, i-1, j);       else           printLcs(x, i, j-1);   }    //取得定长随机字符串      public static String GetRandomStrings(int length){          StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");          StringBuffer sb = new StringBuffer();          Random r = new Random();          int range = buffer.length();          for (int i = 0; i < length; i++){              sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));          }          return sb.toString();      }  }