单元最短路径——Dijkstra

1.算法思想

   输入：带权有向图（权重均为非负值）G(V,E)、权重函数ω（所有边的权重都为非负值）、源点s

  过程：维持一个集合S，从源点s到S的最短路径都已经寻找到，最短路径权重保存在每个结点的d值当中。每一次从V-S集合中选出d值最小的结点u，将u加入到S中，并对从u发出的边进行松弛。

  输出：源点s到每一个结点的最短路径。

2.伪代码：

 DIJKSTRA(G, w, s)
1 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
2 S ← Ø
3 Q ← V[G]//INSERT，O(1)
4 while Q ≠ Ø
5    u ← EXTRACT-MIN(Q)
6    S ← S ∪{u}
7    for each vertex v ∈ Adj[u]
8         RELAX(u, v, w)

3.正确性

  证明：按照Dijkstra算法，在算法结束时，对于所有结点u，u.d=δ(s,u)

     要证明以上结论，只需证明，在算法的while开始前，对于S中的每一个结点S，都有u.d=δ(s,u)

     初始化：S = Ø时，以上结论成立

     保持：（反证）假设在u是第一个加入到S时使得以上等式不成立的结点。

      由于s是第一个加入到S中的结点，而s.d=δ(s,s)=0，故u ≠s。则在u加入到S里面时有 S≠Ø。，此时一定存在一条从s到u的路径，否则u.d=δ(s,u)=∞，不符合假设。因为至少存在一条从s到u的路径，所以也存在一条从s到u的最短路径p。在将u加入到集合S之前，路径p连接的是集合S中的一个结点（s)以及V-S中的一个结点（u），

    考虑路径p上第一个满足y∈V-S的结点y，设x∈S为结点y在路径p上的前驱则可以将p分解为s~x-->y~u（s~x，y~u可能不包含任何边）

（忘记画方向了。。。）

    则将u加入S时，y.d=δ(s,y)。（因为x∈S，x.d=δ(s,x)），此时（x，y）将贝松驰，根据收敛性质得出结论）

    此时，因为y是最短路径p上的位于u前面的一个结点，而所有边权重都为非负值，所有δ(s,y)≤δ(s,u)

    故  y.d=δ(s,y)≤δ(s,u)≤u.d

   但是，在算法第5行选择u时，结点u，y都在V-S中，u.d<=y.d，

   故   y.d=δ(s,y)=δ(s,u)=u.d  与假设矛盾

    终止：算法终止时，Q=Ø，而算法开始时Q=V-S，故算法结束时，S=V，即对于所有结点u.d=δ(s,u)

4.时间复杂度

   每次选d值最小O(VlgV)，选出d值最小结点u之后进行松弛总共O(ElgV)

  总时间复杂度 O((V+E)lgV)