( 题解 )第六届蓝桥杯决赛试题 -- 完美正方形 (线段树 + 深搜)

题目 :

完美正方形

如果一些边长互不相同的正方形，可以恰好拼出一个更大的正方形，则称其为完美正方形。
历史上，人们花了很久才找到了若干完美正方形。比如：如下边长的22个正方形
2 3 4 6 7 8 12 13 14 15 16 17 18 21 22 23 24 26 27 28 50 60
如【图1.png】那样组合，就是一种解法。此时，
紧贴上边沿的是：60 50
紧贴下边沿的是：26 28 17 21 18
22阶完美正方形一共有8种。下面的组合是另一种：
2 5 9 11 16 17 19 21 22 24 26 30 31 33 35 36 41 46 47 50 52 61
如果告诉你该方案紧贴着上边沿的是从左到右依次为：47 46 61，
你能计算出紧贴着下边沿的是哪几个正方形吗？

请提交紧贴着下边沿的正方形的边长，从左到右，用空格分开。

===================== 华丽的分割线 ===============================

当时在考场上看见这道题目的时候, 我果断选择了跳过, 首先当时就没太多思路, 其次吧, 好不容易有了思路, 觉得貌似需要线段树加深搜暴力破解, 想想肯定要耗不少时间来写代码, 对于一道填空题而言, 不太划算啊, 所有就放弃了. 直到最近, 突然回想起此题, 就花了点时间做了一下( 主要是因为在度娘上没有找到别人发的题解,所以想自己拿个沙发什么的... ).

至于思路, 我们可以效仿[俄罗斯方块]的思想, 在玩俄罗斯方块的时候, 我们总会下意识地把方块放置到高度最低的层上,同理,对于完美正方形的搭建, 由于题目已经规定了上边缘的三个块, 所以我们由上往下搭建, 而且我们知道边长为154, 由此,可以定义 : 

1 .完美正方形的上边沿表示为区间[L,R]=[0,153], 区间长度为R-L+1=154 .

2 .当我们没有往里面放置任何小正方形时, 区间[0,153]的高度为0, 且整体平滑.

3 .如果区间[L, R]不平滑, 则其高度定义为-1, 表示无意义.

4 .如果区间[L, R]平滑, 则其子区间[P, Q]平滑( 其中L<=P<=Q<=R)且高度相等.

5 .如果区间[L, R]不平滑,则其父区间[P, Q]不平滑( 其中P<=L<=R<=Q).

6 .每次只能往高度最小的平滑区间内从左向右地放置小正方形M, 但M的边长不能大于区间长度.

大家看明白我的定义了吗 ? 虽然有点难理解, 但我们可以举个例子, 区间[0,153]的初始化高度为0, 整体平滑, 我们向里面放置一个边长为47的小正方形后, 区间[0,153]开始变得不平滑, 则置其高度为-1, 但其子区间[0,46]平滑且高度为47, 区间[47,153]平滑且高度依然为0. 我们继续放置一个边长为46和61的正方形后, 区间[0,153]则被分成了高度不同的三个平滑段, 其中高度最低的46.

有了上述定义, 那我们的目标就是, 每次找出高度最低的平滑区间, 尝试在上面放置正方形, 直到区间[0,153]重新平滑且高度为154时, 结果成立.

为此, 我们需要以下的一些全局变量:

#include <iostream>using namespace std;// 全局变量 namespace Global{ const int MaxS = 46+47+61;// 正方形的边长 int All[] = {2,5,9,11,16,17,19,21,22,24,26,30,31,33,35,36,41,50,52};// 备选正方形边长 int Length = sizeof(All)/sizeof(All[0]);// 备选正方形的数量 int Square[MaxS][MaxS]={0};// 表示结果的完美正方形 }

接下来, 是对线段树的定义以及基本操作的方法定义.

// 线段树结点struct TNode{int L, R;// [L, R]int height;// 段高度( -1时表示该段不平滑,高度无意义 )int inc;// 高度增量// 计算宽度 inline int Width()const{ return R-L+1;}// 计算中点inline int Mid()const{ return (L+R)>>1; } }NSet[1024];inline int LSon( int i ){ return i<<1;}inline int RSon( int i ){ return LSon(i)+1; }inline int Parent( int i){ return i>>1;}// 建立线段树 void BuildTree( int i, int L, int R ){TNode* p = NSet+i;p->L = L;p->R = R;p->height = 0;p->inc = 0;if( L < R ){int m = p->Mid();BuildTree( LSon(i), L, m );BuildTree( RSon(i), m+1, R);}}

主要的问题在于, 如何对指定区间的高度进行增减, 以及在增减后维护其区间平滑性:

// 增量的向下传递调整 // 注: NSet[i]必须为平滑区间 inline void Adjust( int i ){if( NSet[i].inc != 0 ){NSet[i].height += NSet[i].inc;if( NSet[i].L != NSet[i].R ){NSet[LSon(i)].inc += NSet[i].inc;NSet[RSon(i)].inc += NSet[i].inc;}NSet[i].inc = 0;}}// 将区间[L,R]的高度统一增加(或减少)inc// 注: 区间 [L, R] 必须平滑 void Add(int i, int L, int R, int inc ){TNode* p = NSet+i;if( p->L == L && p->R == R ){  // 操作后平滑性不变 p->inc += inc;Adjust(i);}else{int m = p->Mid();if( p->height != -1 ) // 表示该段本是平滑的 {Adjust(i);p->height = -1;  // 现在开始该段不再平滑 }int ls = LSon(i), rs = RSon(i);if( R <= m )Add( ls, L, R, inc );else if( L > m )Add( rs, L, R, inc );else{Add( ls, L, m, inc );Add( rs, m+1, R, inc );}// 平滑性恢复检验if(NSet[ls].height != -1){Adjust(ls);if(NSet[rs].height != -1){Adjust(rs);if(NSet[ls].height == NSet[rs].height)p->height = NSet[ls].height;}}} // end else}

有了上述的线段树定义, 我们接下来需要定义一个能找出最小高度平滑区间的函数:

// 获取最低段区间 void GetLowestInterval(int i, TNode* prev, TNode* lowest ){TNode* p = NSet+i;if( p->height == -1 ){GetLowestInterval( LSon(i), prev, lowest );GetLowestInterval( RSon(i), prev, lowest );}else{prev->R = p->R;// 检验等高区间连续性 if( p->height != prev->height ){prev->L = p->L;prev->height = p->height;}// 更新最低区间if( prev->height <= lowest->height ){lowest->height = prev->height;lowest->L = prev->L;lowest->R = prev->R;}}}

当这些基本的操作都实现后, 我们就可以专注暴力破解了:

bool Dfs( int L, int R ,int H ){if( L > R ){TNode p, m;m.height = 1000;m.L = m.R = 1000;p.height = 1000;p.L = p.R = -1;GetLowestInterval(1, &p, &m);L = m.L;R = m.R;H = m.height;}int Width = R-L+1, temp=0;if( Width == Global::MaxS && H != 0 ) return true;for( int i = Global::Length; i-- > 0 ;){temp = Global::All[i];if( temp != 0 && temp <= Width ){Global::All[i] = 0;Add( 1, L, L+temp-1, temp);Global::Square[ H+temp-1 ][ L ] = temp;if( Dfs( L+temp, R, H ) == true ) return true;Add( 1, L, L+temp-1, -temp);Global::All[i] = temp;}}return false;}

最后就是主函数啦

int main(int argc, char** argv) {BuildTree( 1, 0, Global::MaxS-1 );Add( 1, 0, 46, 47);Add( 1, 47, 92, 46);Add( 1, 93, 153, 61);if( Dfs( 1, 0, 0 ) ) {for( int i = 0,t=0; i < Global::MaxS; i+=t){t = Global::Square[ Global::MaxS-1 ][i];cout << t << ' ';}}return 0;}

将近200行的代码到此结束了, 我还是觉得, 这种东西真的很难在考场上写出了,量大,细节繁,分又不高, 也行是因为我技术有限吧, 如果有谁有更简便的方法, 也欢迎评论吐槽~~