【2016.5.21普及组模拟】约数国王（A king）

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(File IO): input:king.in output:king.out

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Description
数学的王国里，有一些约数国王……约数国王的定义是这样的：一个大于1的整数n，如果它约数的个数比1~n-1的每个整数的约数的个数都要多，那么我们就称它为约数国王。聪明的小明在奥数书上认识了它们，于是产生了一个问题:他想知道L到R之间一共有多少个约数国王？它们分别又是谁？

Input
输入文件只有一行，包含一个l，一个r，表示小明想知道的范围。

Output
只有一行，第一个数h，表示l~r内一共有多少个约数国王，接下来h个从小到大的数(为了防止国王们打架，你需要按顺序输出。)，表示约数国王分别是谁。

Sample Input
1 100

Sample Output
8 2 4 6 12 24 36 48 60

Data Constraint

• 对于30%的数据，1<=l<=r<=200000。
• 对于50%的数据，1<=l<=r<=500000。
• 对于70%的数据，保证最大的约数国王的约数的个数不大于1000。
• 对于100%的数据，1<=l<=r, 并且保证l，r在64位整型以内，最大的约数国王的约数的个数不大于200000。

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解题思路

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首先，我们设一个c[i]，表示因数个数(包括本数)为i，的最小正整数，那么对于一个数c[i]，如果c[i]<任何一个c[i+k] (k为正整数)，那么c[i]就是一个约数国王。

对于求出c[i]，我们可以设P[i]为从小到大的质数中的第i个。这里用线性筛法可以求出来。

我们可以在设一个F[i,j]表示，有i个不同质因数构成，有j个因数的最小正整数。
那么，c[i]=Max{F[k,i]}。

求一个数的因子个数的公式:
若N=P1A1+P2A2+P3A3+...+PmAm也就是N=∑mi=1PiAi (这里所有的P都是质数)，那么，N的因数个数为(A1+1)(A2+1)(A3+1)…(Am+1)。
证明:
若M是N的因数，M=P1K1+P2K2+P3K3+...+PmKm也就是M=∑mi=1PiKi (Ki<=Ai)，那么，只要Ki选0~Ai，M|N，根据乘法原理，N的因数个数=∏mi=1(Ai+1) 也就是

(A1+1)(A2+1)(A3+1)...(Am+1)

那么F的转移方程如此：

F[i+1,j∗(k+1)]=min(F[i,j]∗P[i+1]k)

为什么要乘以P[i+1]k呢，你想想，选i+1个素数，当然是选前i个最优。

那我们来讨论一下j的取值范围，可想到2i<=j<=mx，mx为数组开的下限，为什么是2的i次方呢，我们在选第i+1个素数时，前面已经选了i个了，每一个素数最少选1个，就会有2i个因子，故如此。

那么代码就很容(kun)易(nan)想象出来了

Codes:

const    mxn=170000;    num=200000;    o=50;    mx=trunc(ln(mxn)/ln(2));    limit=9223372036854775807;var    f:array[1..mx,1..mxn]of qword;    c:array[1..mxn]of qword;    pr:Array[1..num] of longint;    bz:array[2..num]of boolean;    ans:array[1..mxn]of qword;    tot,i,j,k,top:longint;    l,r,x,t,max:qword;    p:boolean;procedure GetPrimes;begin    for i:=2 to num do    begin        if not bz[i] then        begin            inc(top);            pr[top]:=i;        end;        for j:=1 to top do        begin            if pr[j]*i>num then break;            bz[pr[j]*i]:=true;            if i mod pr[j]=0 then break;        end;    end;end;function min(p,q:qword):qword;begin    if p<q then exit(p) else exit(q);end;begin    assign(input,'king.in'); reset(input);    assign(output,'king.out'); rewrite(output);    read(l,r);    GetPrimes;    for j:=1 to mxn do    begin        for i:=1 to mx do f[i,j]:=limit;        c[j]:=limit;    end;    f[1,1]:=1;    c[1]:=1;    for i:=1 to 62 do    begin        f[1,i+1]:=f[1,i]<<1;        c[i+1]:=f[1,i+1];    end;    for i:=1 to mx-1 do        for j:=1<<i to mxn do        begin            if f[i,j]<limit then            begin                t:=1;                for k:=1 to mxn div j-1 do                begin                    if limit/t<pr[i+1] then break;                    t:=t*pr[i+1];                    if limit/t<f[i,j] then break;                    f[i+1,j*(k+1)]:=min(f[i+1,j*(k+1)],f[i,j]*t);                    c[j*(k+1)]:=min(c[j*(k+1)],f[i+1,j*(k+1)]);                end;            end;        end;    max:=limit;    for i:=mxn downto 2 do    begin        if c[i]<max then        begin            max:=c[i];            if (l<=c[i]) and (c[i]<=r) then            begin                inc(tot);                ans[tot]:=c[i];            end;        end;    end;    write(tot);    for i:=tot downto 1 do write(' ',ans[i]);    close(output); close(input);end.