BSG白山极客挑战赛D 解题报告

这题关键当然就在那个非常神的性质。

其实，对于一棵树来说，我们在上面随便找一个点（可以是边上的点任意一点），也就是可以选无穷多个点，那么距离这个点最远的点一定是一条直径的一端。且任意一条直径都存在一个端点是距离这个点最远的点。
我们考虑距离任意一点x最远的点y，假设有一条直径是(a,b)。（下面我们用(a,b)来表示两点之间的路径，用|(a,b)|来表示这条路径的长度）。
那么我们分两种情况考虑。
如果(a,b)∩(x,y)=∅，如图。因为y距离x最远，所以|(d,y)|≥|(d,a)|,|(d,y)|≥|(d,b)|；因为(a,b)是直径，所以|(b,c)|≥|(c,y)|,|(a,c)|≥|(c,y)|，所以|(d,y)|≥|(b,d)|>|(b,c)|≥|(c,y)|>|(d,y)|，产生了矛盾，所以这种情况其实是不存在的。
如果(a,b)∩(x,y)≠∅，如图。因为y距离x最远，所以|(d,y)|≥|(d,b)|，因为(a,b)是直径，所以|(d,y)|≤|(d,b)|，所以|(d,y)|=|(d,b)|。即(a,y)也是一条直径。

根据这个性质就有一个经典的找直径的算法，就是随便找一个点找离它最远的点，那么它必然是一条直径的一端，而离它最远的点就是直径的另一端了，所以只需要两边dfs/bfs即可。

那么这一题需要说明的是对于两个点集S、T，任选x∈S,y∈T，则距离最远的(x,y)中存在y∈{a,b}((a,b)是T的一条直径)，那么对称的x也一样。
其实在S中任选一个点x出发，设其在T中距离最远的点为y，(x,y)上最靠近x的存在于T中两点路径上的点为z。那么y显然必须是离z最远的点，而根据上面的分析，一条直径必然有一个端点是离z最远的点。

那么这个问题就变成了求出一段区间的直径，题解说是可以用线段树O(logn)预处理，O(1)查询，我表示完全没看懂。。
我的做法是先用st表预处理出lca，因为合并两个区间的时候显然需要O(1)查询两点距离什么的。然后再用st表预处理出长为2i的区间的直径。时间复杂度O(6nlogn)−O(6m)。

代码：

#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;#include<algorithm>void in(int &x){    char c=getchar();    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();    for(x=0;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=x*10+(c^'0');}const int N=1e5+5;int next[N<<1],succ[N<<1],w[N<<1],ptr[N],etot=1;void addedge(int from,int to,int wt){    next[etot]=ptr[from],ptr[from]=etot,succ[etot]=to,w[etot++]=wt;}const int Log=18;int fa[N],depth[N];int d[N<<1],dfn[N];int Min(const int &a,const int &b){    return depth[a]<depth[b]?a:b;}int dtot=1;int dis[N];int stack[N],cur[N];void dfs(){    stack[0]=1;    depth[1]=1;    for(int top=1,node;top--;){        node=stack[top];        //printf("-----%d----\n",node);        if(cur[node]!=ptr[node]){            d[dtot]=node;            dfn[node]=dtot++;        }        if(cur[node]){            ++top;            if(succ[cur[node]]!=fa[node]){                depth[succ[cur[node]]]=depth[node]+1;                dis[succ[cur[node]]]=dis[node]+w[cur[node]];                fa[succ[cur[node]]]=node;                stack[top++]=succ[cur[node]];            }            cur[node]=next[cur[node]];        }    }}int lca[Log][N<<1];int lg[N<<1];int querydis(int a,int b){    if(dfn[a]>dfn[b])swap(a,b);    int tmplg=lg[dfn[b]-dfn[a]+1],x=Min(lca[tmplg][dfn[a]],lca[tmplg][dfn[b]-(1<<tmplg)+1]);    //printf("Min%d:(%d,%d)\n",tmplg,dfn[a],dfn[b]-(1<<tmplg)+1);    //printf("dis(%d,%d),%d=%d\n",a,b,x,dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1));    return dis[a]+dis[b]-(dis[x]<<1);}struct AS{    int a[2];}st[Log][N];AS merge(const AS & u,const AS &v){    int maxdis=querydis(u.a[0],u.a[1]),tmp;    AS ans=u;    if((tmp=querydis(v.a[0],v.a[1]))>maxdis){        maxdis=tmp;        ans=v;        //printf("Get:%d\n",maxdis);    }    for(int i=2;i--;)        for(int j=2;j--;)            if((tmp=querydis(u.a[i],v.a[j]))>maxdis){                maxdis=tmp;                ans=(AS){u.a[i],v.a[j]};            }    //printf("merge((%d,%d),(%d,%d))=(%d,%d)\n",u.a[0],u.a[1],v.a[0],v.a[1],ans.a[0],ans.a[1]);    return ans;}AS query(int l,int r){    int tmplg=lg[r-l+1];    //printf("[%d,%d]\n",l,r);    //printf("merge(%d,(%d,%d))\n",tmplg,l,r-(1<<tmplg)+1);    //printf("%d %d\n",st[tmplg][l].a[0],st[tmplg][l].a[1]);    return merge(st[tmplg][l],st[tmplg][r-(1<<tmplg)+1]);}int main(){    freopen("51noded.in","r",stdin);    //freopen("51noded.out","w",stdout);    int n;    in(n);    int x,y,z;    for(int i=n;--i;){        in(x),in(y),in(z);        addedge(x,y,z),addedge(y,x,z);    }    dtot=1;    for(int i=n;i;--i)cur[i]=ptr[i];    dfs();    //cout<<dfn[65536]<<endl;    //cout<<d[68211]<<endl;    /*puts("----dfn----");    for(int i=1;i<dtot;++i)printf("%d ",d[i]);    puts("");*/    //cout<<d[68211]<<endl;    for(int i=dtot;--i;)lca[0][i]=d[i];    for(int i=1,j=0;i<dtot;++i){        lg[i]=j;        if(i==1<<j+1)++j;    }    //cout<<lca[0][68211]<<endl;    for(int j=1;j<Log;++j)        for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)            lca[j][i]=Min(lca[j-1][i],lca[j-1][i+(1<<j-1)]);    /*for(int j=0;j<Log;++j)        for(int i=dtot-(1<<j);i>0;--i)            printf("lca(%d,%d)=%d\n",j,i,lca[j][i]);*/    for(int i=1;i<=n;++i)st[0][i]=(AS){i,i};    for(int j=1;j<Log;++j)        for(int i=n-(1<<j)+1;i>0;--i)            st[j][i]=merge(st[j-1][i],st[j-1][i+(1<<j-1)]);    //printf("%d %d\n",st[15][1].a[0],st[15][1].a[1]);    //printf("%d %d\n",st[0][65895].a[0],st[0][65895].a[1]);    //printf("%d %d\n",st[0][65896].a[0],st[0][65896].a[1]);    //cout<<Min(lca[0][68211],lca[0][68211])<<endl;    //testquery(65895,65895);    int m;    in(m);    int a,b,c,d;    AS s,t;    while(m--){        in(a),in(b),in(c),in(d);        s=query(a,b),t=query(c,d);        //printf("s=%d,%d\n",s.a[0],s.a[1]);        //printf("t=%d,%d\n",t.a[0],t.a[1]);        int maxdis=0;        for(int i=2;i--;)            for(int j=2;j--;)                maxdis=max(maxdis,querydis(s.a[i],t.a[j]));        printf("%d\n",maxdis);    }}

总结：
①一定要记得检查数组大小！
②对于树T的任意一条直径(a,b)，∀x∈T，必然有max(|(a,x)|,|(b,x)|)≥max{|(x,y)}(∀y∈T).