百练2757:最长上升子序列

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描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

71 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

思路分析：


1、找子问题
求以ak为终点的最长上升子序列的长度，虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中最大的那个就是整个问题的解了。


2、确定状态
子问题只和数字的位置的相关。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态对应的“值”就是以ak作为终点的最长上升序列的长度。
状态一共有N个。


3、找出状态转移方程
dp(k)表示以ak作为终点的最长上升子序列的长度，
初始状态 ： dp(1)=1
Dp(k)=max{ dp(i) : 1<=i<k 且ai<ak且k!=1} + 1，若找不到这样的i , dp(i) = 1。


共有N个状态，解决每个状态需要N，时间复杂度O（N^2）

程序代码如下：

#include "iostream"
#include "cstdio"
#include "cstring"
#include "string"
#include "algorithm"
using namespace std;


int n; 
int arr[1005],dp[1005];


int main(){
int n; 
scanf("%d",&n);

int i;
for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&arr[i]);

// memset(dp,0,sizeof(dp));

// for(i=1;i<=n;i++) cout << dp[i];


dp[1]=1;

int j,Max;
for( i=2; i<=n; i++ ){

Max=0;

for( j=1; j<i; j++ ){


if(arr[j]<arr[i]){
if(dp[j] > Max){
Max = dp[j];
}
}
}
dp[i]=Max + 1;

}
int ans=0;
for(i=1;i<=n;i++){
if(dp[i]>ans) ans=dp[i];
}
printf("%d\n",ans);

return 0;
}

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