星际之门（一）(cayley定理n阶完全图的生成数个数，快速幂)

星际之门（一）
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难度：3
描述
公元3000年，子虚帝国统领着N个星系，原先它们是靠近光束飞船来进行旅行的，近来，X博士发明了星际之门，它利用虫洞技术，一条虫洞可以连通任意的两个星系，使人们不必再待待便可立刻到达目的地。

帝国皇帝认为这种发明很给力，决定用星际之门把自己统治的各个星系连结在一起。

可以证明，修建N-1条虫洞就可以把这N个星系连结起来。

现在，问题来了，皇帝想知道有多少种修建方案可以把这N个星系用N-1条虫洞连结起来？

输入
第一行输入一个整数T,表示测试数据的组数(T<=100)
每组测试数据只有一行，该行只有一个整数N，表示有N个星系。(2<=N<=1000000)
输出
对于每组测试数据输出一个整数，表示满足题意的修建的方案的个数。输出结果可能很大，请输出修建方案数对10003取余之后的结果。
样例输入
2
3
4
样例输出
3
16

分析：
Cayley公式是说，一个完全图K_n有n^(n-2)棵生成树，换句话说n个节点的带标号的无根树有n^(n-2)个。

一看就知道这里面是有规律的，不过推了半天还是一头雾水，感觉像一个树，可是就是找不到 递推公式…推了老半天才发现，可是数据量太大。别人说这是Cayley定理：n^(n-2)
百度里面没有词条，找了一下文章，都是从Matix67那copy的，不过我感觉他写的还是麻烦，有找了个 才弄懂。其实就是先由一个无根树，前推出prufer编码，当我们再由 prufer编码 反推无根树就会发现，编码有n-2个数组成，只要这些数在1到n之间，组成就行了。无根树和编码是一一对应的。
下面是转的较容易懂的版本1：
prufer编码是用另外一种形式来描述一棵树，这棵树是无根树，它可以和无根树之间形成一一对应关系。
编码方式是：

prufer编码 - 小子 - 那个小子
这是一颗无根树，这课树的prufer编码为5,5,4,4,4,6。

首 先选这棵树叶子中编号最小的点，将这个点删除，并且把它的邻接点加入一个数组中，例如第一个删除的节点为1，并且把5加入数组中。删除节点后形成一棵新的 树，再在新树中删除最小的节点，并且把邻接点加入数组中，，这样重复以上步骤，知道树中最后剩余两个点的时候终止操作。这时候数组中的便是prufer编 码。

由prufer编码来重建这棵树的方法是：

假如prufer编码为(a1,a2,a3,a4,a5,…..an-2)在上述数组中，在数组最后加入n这个值，这样便形成了数组中包含n-1个节点，例如上述为5,5,4,4,4,6,8。

然后取不在数组中的最小值为b1，则b1与a1是邻接点，在数组中删除a1，再在剩下的数中选取不为b1，且不在数组中的最小值为b2，则b2与a2是邻接点，这样依次循环下去直到结束，这样便形成了一棵树。

Cayley定理：不同的n节点标号树的数量为n^(n-2)。

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int main(){    int n,m,k;    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        scanf("%d",&m);        int sum=1;        k=m-2;        while(k)        {            if(k&1)            {                sum*=m;                sum%=10003;            }            m*=m;            m%=10003;            k>>=1;        }        printf("%d\n",sum%10003);    }    return 0;}

Matrix67版本：

Cayley公式是说，一个完全图K_n有n^(n-2)棵生成树，换句话说n个节点的带标号的无根树有n^(n-2)个。今天我学到了Cayley公式的一个非常简单的证明，证明依赖于Prüfer编码，它是对带标号无根树的一种编码方式。
给定一棵带标号的无根树，找出编号最小的叶子节点，写下与它相邻的节点的编号，然后删掉这个叶子节点。反复执行这个操作直到只剩两个节点为止。由 于节点数n>2的树总存在叶子节点，因此一棵n个节点的无根树唯一地对应了一个长度为n-2的数列，数列中的每个数都在1到n的范围内。下面我们只 需要说明，任何一个长为n-2、取值范围在1到n之间的数列都唯一地对应了一棵n个节点的无根树，这样我们的带标号无根树就和Prüfer编码之间形成一 一对应的关系，Cayley公式便不证自明了。

注意到，如果一个节点A不是叶子节点，那么它至少有两条边；但在上述过程结束后，整个图只剩下一条边，因此节点A的至少一个相邻节点被去掉过，节 点A的编号将会在这棵树对应的Prüfer编码中出现。反过来，在Prüfer编码中出现过的数字显然不可能是这棵树（初始时）的叶子。于是我们看到，没 有在Prüfer编码中出现过的数字恰好就是这棵树（初始时）的叶子节点。找出没有出现过的数字中最小的那一个（比如④），它就是与Prüfer编码中第 一个数所标识的节点（比如③）相邻的叶子。接下来，我们递归地考虑后面n-3位编码（别忘了编码总长是n-2）：找出除④以外不在后n-3位编码中的最小 的数（左图的例子中是⑦），将它连接到整个编码的第2个数所对应的节点上（例子中还是③）。再接下来，找出除④和⑦以外后n-4位编码中最小的不被包含的 数，做同样的处理……依次把③⑧②⑤⑥与编码中第3、4、5、6、7位所表示的节点相连。最后，我们还有①和⑨没处理过，直接把它们俩连接起来就行了。由 于没处理过的节点数总比剩下的编码长度大2，因此我们总能找到一个最小的没在剩余编码中出现的数，算法总能进行下去。这样，任何一个Prüfer编码都唯 一地对应了一棵无根树，有多少个n-2位的Prüfer编码就有多少个带标号的无根树。

一个有趣的推广是，n个节点的度依次为D1, D2, …, Dn的无根树共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]个，因为此时Prüfer编码中的数字i恰好出现Di-1次。