多重背包问题

来源：互联网发布：多客户端访问数据库编辑：程序博客网时间：2024/06/18 09:03

题目：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有m[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：

状态转移方程： F[i, v] = max{F[i-1, v - k*c[i] | 0 <= k <= Mi}

优化：

转化为0-1背包问题：

将第i种物品分成若干件01背包中的物品，使得原物品题中第i 种物品可取的策略 ----取 0 ~ m[i]件 --- 均能等价于取若干件代换以后的的物品。另外取超过m[i]件的策略不能出现；

方法是：将这些物品分解为若干件01背包中的物品，其中每件物品有一个系数。这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数，令这个系数分别为, 1, 2, 2^2, 2^3, ... 2^(k-1), m[i]-2^k+1;

出自背包九讲，建议阅读完整的背包九讲多重背包问题；

O(logM)处理一件多重背包物品的过程：

def MultiplePack(F, C, W, M): // C表示占用的背包空间, W表示物品价值, M物品个数;
if C*M >= V:
completePack(F, C, W):
return
else:
k = 1
while k < M:
ZeroOnePack(F, k*C, k*W)
M -= k
k *= 2
if M > 0:
ZeroOnePack(F, M*C, M*W)

题目：hdu2191 :点击打开链接

参考代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 105;int n, m, p[maxn], h[maxn], c[maxn], d[110];void completePack(int C, int W){    for(int v = C; v <= n; ++v){        d[v] = max(d[v], d[v-C]+W);    }}void ZeroOnePack(int C, int W){    for(int v = n; v >= C; --v){        d[v] = max(d[v], d[v-C]+W);    }}void multiplePack(int C, int W, int M){    if(C*M >= n){        completePack(C, W);    } else {        int k = 1;        while(k < M){            ZeroOnePack(k*C, k*W);            M -= k;            k *= 2;        }        if(M != 0)            ZeroOnePack(M*C, M*W);    }}int main(){    int T;    scanf("%d", &T);    while(T--){        scanf("%d%d", &n, &m);        for(int i = 0; i < m; ++i){            scanf("%d%d%d", &p[i], &h[i], &c[i]);        }        memset(d, 0, sizeof(d));        for(int i = 0; i < n; ++i){            multiplePack(p[i], h[i], c[i]);        }        printf("%d\n", d[n]);    }}

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