一道亚马逊算法面试题的情景分析

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http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1002942008

我们聚焦于一道亚马逊的算法面试题，通过分析该题，复盘它的解题情景，我们可以初步体会到算法面试的应对步骤，并从中窥探到，成功的算法面试，其流程应该怎么走。题目如下：

给定一家公司在四十日内的股票走势信息，这些信息包括了它每天交易的最高价，最低价，以及开盘价。假定你做为交易员，必须在股票开盘时做出买入或卖出的决定，你负责设计一个算法用来决定买入和卖出的策略，使得交易获得最高的利润。

拿到问题后，我们不能急于动手写代码，首先要做的第一步是：搞清题意。例如，你要向面试官问清楚股票价格的数据格式，它是存储在数组中，队列中，还是以某种格式存储在文件中。通过与面试官交流，屡清楚题目的真实内容，去除模糊不清的地方，将向面试官传达出你心思慎密的特点。假定，数据的输入格式是整形数组，分别为 L, H, S, 他们分别代表股票从某个阶段开始那天到结束那天的最低价，最高价， 以及开盘价。由于题意要求，股票必须在开盘时做出交易，因此，我们只需要考虑处理S数组中的数据。

一开始，你可能没什么思路，于是倾向于认为，只要把S数组中最大值和最小值的差返回就可以了。于是你把这个做法在一些测试用例中测试一下，例如：

S: 10, 4, 8, 7 , 9, 6, 2, 5, 3

里面的最大值是10，最小值是3， 于是你的算法返回7 = 10 – 3。

然而这么做，违反了题意要求，因为你必须买进才能卖出，由于10排在3的前面，这意味你要10块买进，3块卖出，你的算法给出的实际上是亏损最大化的情况。

于是你换一种思路，使用暴力枚举法，也就是对任何一种可能的买进卖出组合，例如第 i 天买入，第j 天卖出， j > i, 计算p(i, j) = S[j] – S[i], 计算所以可能的i, j 组合情况，把计算得到的最大的p(i, j) 返回。由此，你写出以下算法:

int profit = Integer.MINUM_VALUE;

for (int i = 0; i < S.length; i++)
for (int j = i + 1; j < S.length; j++) {

if (S[j] – S[i] > profit) {    profit = S[j] – S[i];}

}

接下来你要给面试官分析算法的复杂度，假定S数组的长度为 n, 那么外层循环要走n次，内层循环要走 n – i – 1 次。于是算得的总次数为：

也就说，暴力枚举法得到的算法复杂度是:

接着你再分析一下空间复杂度，由于算法中只是采用了几个局部变量，因此空间复杂度是O(1). 于是此时，你便拥有了一个可以解决问题的算法。

再接下来，你需要在上面的基础上，想办法优化，一般而言，当S的长度足够大时，平方级的时间复杂度是无法接受的。你可能想到，一种算法设计模式叫分而治之。也就是，把S 先分成两部分， 第一部分是S 的前半部:

另一部分是S的后半部：

然后，分别在前半部和后半部分别计算交易的最大利润，接着选出两个结果中的利润最大值。例如：
S：1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
那么前半部是：1, 2, 3, 4 最佳交易方案是第一天买入，第4天卖出，得到的利润是： 3(4 – 1).
后半部是： 5， 6， 7 ，9. 最佳交易是第五天买入，第八天卖出，利润是：4(9-5).
因此采用后半部的交易方案是当前选择。

然而，我们还需要考虑一种跨界情况，最大利润可能实现的方案是，在前半部的某一天买入，在后半部的某一天卖出，如果是这种情况，那么只可能是在前半部的最小值处买入，在后半部的最大值处卖出。也就是，第一天买入，最后一天卖出，利润是 8(9-1)。

因此，我们需要在前半部找到最小值，在后半部找到最大值，一个循环就可以实现，一个循环的时间复杂度是 O(n), 这样，算法的总体复杂度是：

计算出 T(n) 为 O(n log(n)).

通过分而治之的算法，我们将效率提高了很多。只是它的实现还需要考虑不少边界条件，例如数组是空数组，数组只有一个元素，数组中的元素以降序排列等等。在你编码技能熟练的情况下，把算法写出来一般也就需要20到30分钟。

如果你能想到分而治之的方案，很可能你能通过面试，但再想想，还有没有可能再改进一下呢？上面提到的跨界情况或许能给你提示：

假定最佳交易方案是第 N 天卖出，那么很显然，买入时机是在前N-1天价格最低的时候，也就是在S[0, N-1] 最小值那时买入，把S[0, N-1]最小值记为:Min(S[0, N-1]),

那么，最大利润的值就是 profit = S[N] - Min(S[0, N-1]), 将N从1 到 n 走一便，使得profit最大化的那个值就是利润最大值。这个遍历将数组循环一次就够了， 于是我们得到一个更好的算法，其时间复杂度是O(n),该算法的实现我会在稍后的代码演示中给出。用于算法不需要额外的存储空间，仅需要数组本身加上一些变量，因此它的空间复杂度是O(1).

从上面的解题流程，我们可以看到，一次面试，大概45到60分钟，你需要根据给定问题，分析问题，设计算法，然后编码实现，接着测试代码，分析复杂度。总结来说，在成功的面试中，你必须展现一下几方面的特质：
1. 将现实世界的实际问题就行抽象归纳的能力。
2. 在较短时间内进行算法设计的能力。
3. 较强的编码能力，能将算法实现为可运行的代码
4. 对算法进行复杂度分析的能力。

大家或许可以体会到，在不到一个小时的时间内，要展现上面几种能力是比较困难的，很多情况下，你会卡在第二部，也就是算法设计，在较大的压力情况下，保持头脑清醒，并进行快速的思考分析，对大多数人来说，并不容易做到。因此，要想提高面试成功率，我们必须在平时就注意培养积累算法功底，注意分析能力的培养和提高。本课程不但将帮您提高算法设计与分析方面的能力，同时通过收集分析大量的面试算法题，从而为你总结归纳出面试算法题的特征，出题套路以及相应的解题方法。知己知彼，百战不殆，当对方的出手套路都已经在你的掌控和预料之下时，战胜他早已是情理之中了。