插入最少的字符使字符串成为回文串 <最长公共子序列 + 回文>

题目描述

给定一个字符串S，可以通过在字符串的任意位置插入字符，使其变为回文串。求最少插入字符的数量。

例如：

ab -> bab  1

aa -> aa    0

abca -> acbca 1

题目来源：微信号 待字闺中

解题思路

如果能在原串S中找到最长的子序列L，这个子序列是回文，那么我们就能知道要插入多少个字符是的原串成为回文。

ans = strlen(s) - strlen(L)

问题转为求一个字符串的最长回文子序列，这个问题可以使用最长公共子序列的解法，解法如下：

1.求S的逆序串 S',；

2.那么S和S'的用求最长公共子序列L，L即为S的最长回文子序列(这个规律是在推演中发现的)；

3.那么问题得解：ans = strlen(s) - strlen(L)。

例如： S = abca 那么 S' = acba ，那么L = aba 那么答案就是1.即 a’c‘bca。其中'c'为插入的字符。

算法分析

该算法的核心是求最长公共子序列，最长公共子序列有DP的求法，算法的复杂度是 时间和空间都是 O(n^2)

解法二

原作者提供

主要采用动态规划，动态规划主要从两端字符进行比较，因而有重复子问题。

假设将问题表示为公式S(0,n-1)，那么

                           if(a[0] = a[n-1]) 
                               s(0,n-1) == s(2,n-2) 
                           else 
                              s(0,n-1) == min( s(1,n-2) , s(2,n-1) ) + 1

其中a[i]为串S中的第i个字符。

#include<iostream>  #include<stdio.h>  #include<string.h>  #include<stdlib.h>  #include<algorithm>  #define Max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)   using namespace std;  char s1[1010],s2[1010];  int c[1010][1010];    int LCS(char *a,char *b)  {      int i,j,len = strlen(a);      //for(i=0;i<=len;i++) c[i][0] = c[0][i] = 0;      for(i=1;i<=len;i++){          for(j=1;j<=len;j++){              if(a[j-1]==b[i-1]) c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;              else c[i][j] = Max(c[i-1][j],c[i][j-1]);          }      }      return c[len][len];  }  int main()  {      int n,i,j,len;      scanf("%d",&n);getchar();      while(n--)      {          memset(c,0,sizeof(c));          gets(s1);  len = strlen(s1);           for(i=len-1,j=0;i>=0;i--,j++) s2[j]=s1[i];           s2[j] = '\0';          printf("%d\n",len-LCS(s1,s2));      }      return 0;  }