nyoj 139 & 143 康托展开与逆展开

139题用的是康托展开：
X=a[n](n-1)!+a[n-1](n-2)!+…+a[i]*(i-1)!+…+a[1]*0! 其中a[i]为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。 //假设序列是a[n],a[n-1],a[n-1]……a[1]

如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。
如求321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑 ：
第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+1*0!
再举个例子：
1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

代码：

#include <iostream>using namespace std;int main() {    int i,j,a[13];    a[0]=1;    for(i=1; i<=12; i++) {  //a[i]=i!;        a[i]=a[i-1]*i;    }    int n,count,length;    long long sum;    string x;    cin>>n;    while(n--) {        sum=0;        cin>>x;        length=x.length();        for(i=0; i<length; i++) {            count=0;        //第几大，从0开始            for(j=i+1; j<length; j++) {                if(x[i]>x[j])                    count++;            }            sum+=count*a[length-i-1];  //+=count*(length-i-1)!         }        cout<<sum+1<<endl;    }    return 0;}

143题呢，是逆推的，由第几个，求得该序列

如果已知 s = [“A”, “B”, “C”, “D”]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”] 呢？
　　因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，即：

20/(3!)=3余2 //a4=3
2/(2!) =1余0 //a3=1
0/(1!) =0余0 //a2=0
0/(0!) =0余0 //a1=0

知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组[“A”, “B”, “C”, “D”]中第3大的元素 “D”，s1[1] 是子数组 [“A”, “B”, “C”] 中第1大的元素”B”，s1[2] 是子数组 [“A”, “C”] 中第0大的元素”A”，s[3] 是子数组 [“C”] 中第0大的元素”C”，所以s1 = [“D”, “B”, “A”, “C”]。

再例如：
{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕
找第96个数
首先用96-1得到95
用95去除4! 得到3余23
有3个数比它小的数是4
所以第一位是4
用23去除3! 得到3余5
有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）
用5去除2!得到2余1
有2个数比它小的数是3，第三位是3
用1去除1!得到1余0
有1个数比它小的数是2，第二位是2
最后一个数只能是1
所以这个数是45321

代码：

#include <stdio.h>#include <iostream>using namespace std;int main() {    int n,i,j,t,count,len=12; //count第几个   len字符串长度，本题默认为12    int fac[13],num[13];    //factorial阶乘  fac[i]=i!;    fac[0]=1;    for(i=1; i<=12; i++)        fac[i]=fac[i-1]*i;    cin>>n;    while(n--) {        for(i=0; i<=12; i++)            num[i]=i;        cin>>count;        count--;        for(i=0; i<len; i++) {            t=count/fac[len-i-1];   //t即康托展开的a[i]  从a[n]到a[1]            printf("%c",num[t]+'a');            for(j=t; j<len-1; j++)  //用过之后就覆盖掉，保证序列中没有重复元素                num[j]=num[j+1];            count=count%fac[len-i-1];        }        cout<<endl;    }    return 0;}