默慈金数
来源:互联网 发布:淘宝摄影灯推荐 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 02:09
今天学习一下一个新的知识,“默慈金数”这是一个默慈金数的题目,那么什么叫默慈金数呢。
默慈金数是在数学中,一个给定的数n的默慈金数是“在一个圆上的n个点间,画出彼此不相交的弦
的全部方法的总数”。——摘自百度百科
具体以一个例题来说明一下:
51NOD 1556 计算
有一个1*n的矩阵 固定第一个数为1 其他填正整数 且相邻数的差不能超过1 求方案数%1e9+7的结
果
Input
一个数n 表示1*n的矩阵(n<=10^6)
Output
一个数 表示方案数%1e9+7的结果
Input示例
3
Output示例
5
解题思路:
默慈金数的实例表示:像例如在一个“网格”上,若限定“每步只能向右移动一格(可以向右上、右
下横向向右),并禁止移动到
的可能形成的路径的总数为
下坐标轴即可,不影响后续的计算。
本题与默慈金数的模型的不同点是,我们要从
就需要逆向思维,已有模型不能帮助我们从正向推理出答案,但是可以帮助排除错误答案。因为默
慈金数为
是最终的答案了。具体推出公式就是:
表示的是默慈金数。
#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <map>using namespace std;typedef long long LL;const LL MOD = 1e9+7;const int MAXN = 1e6+5;LL ans[MAXN], M[MAXN];void Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)///求逆元{ if(b == 0) { x = 1; y = 0; return; } LL x1, y1; Exgcd(b, a%b, x1, y1); x = y1; y = x1-(a/b)*y1;}void get_Motzkin()///得到默慈金数{ LL x, y; M[1] = 1, M[2] = 2; for(int i=3; i<MAXN; i++) { Exgcd(i+2, MOD, x, y); x = (x%MOD+MOD)%MOD; M[i] = ( ((2*i+1)*M[i-1])%MOD + ((3*i-3)*M[i-2])%MOD ) * x; M[i] = (M[i]%MOD+MOD)%MOD; }}void Init(){ get_Motzkin(); ans[1] = 1, ans[2] = 2; for(int i=3; i<MAXN; i++) { ans[i] = (3*ans[i-1]-M[i-2]); ans[i] = (ans[i]%MOD+MOD)%MOD; }}int main(){ Init(); int n; while(~scanf("%d",&n)) { printf("%I64d\n",ans[n]); } return 0;}
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