UVA 1614 Hell on the Markets 【贪心+结论题】

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题意

给一串序列，保证序列中每个数满足ai≤i，问能否给这些数每个数前面填上正负号，使得其和为0.

分析

先上结论

数列an满足 ∀ai∈an,ai≤i ，则对于任何正整数S≤sum[i] （sum[i]为前i项和），总能从an中的前i项中选出某些数，使其和为S
即对于每项不大于下标的数列，总能凑出一些数，使其和为1~前缀和中的任意一个数

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证明：
用数学归纳法
1) 当n=1时显然成立

2)假设当n=k时成立，即任何一个正整数S都可以表示为a1∼an中某些数的和

3)对于n=k+1，1~sum[k]中的数有2）知显然可以凑出。而对于sum[k]+1~sum[k+1]间即sum[k]+t(1≤t≤ak+1)间的整数：

sum[k]+t=sum[k]−(ak+1−t)+ak+1

∵ak+1≤k+1且t≥q⟹ak+1−t≤k
又∵sum[k]≥ak+a1≥k+1
∴0≤sum[k]−(ak+1−t)≤sum[k]
∴sum[k]+t可以用a1∼ak中的任意一些数加上ak+1凑成

得证

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代码实现也就很简单了，首先所有数的和为奇数是肯定不能一分为二的。然后先排个序，然后从后到前扫一遍能选就选，选到总和的一般为止。不用担心选了某个数以后就凑不齐了，因为有上面的那个结论，总能够凑齐的。

AC代码

//UVA 1614 Hell on the Markets//AC 2016-7-29 23:12:13//Greedy, Math Conclusion#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cmath>#include <cctype>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <vector>#include <set>#include <string>#include <map>#include <queue>#include <deque>#include <list>#include <sstream>#include <stack>using namespace std;#define cls(x) memset(x,0,sizeof x)#define inf(x) memset(x,0x3f,sizeof x)#define neg(x) memset(x,-1,sizeof x)#define ninf(x) memset(x,0xc0,sizeof x)#define st0(x) memset(x,false,sizeof x)#define st1(x) memset(x,true,sizeof x)#define INF 0x3f3f3f3f#define lowbit(x) x&(-x)#define bug cout<<"here"<<endl;//#define debugpair<int,int> num[100100];bool choose[100100];int n;long long sum;int main(){    #ifdef debug        freopen("E:\\Documents\\code\\input.txt","r",stdin);        freopen("E:\\Documents\\code\\output1.txt","w",stdout);    #endif    while(cin>>n)    {        sum=0;        for(int i=0;i<n;++i)        {            cin>>num[i].first;            num[i].second=i;            sum+=num[i].first;        }        if(sum%2!=0)        {            cout<<"No"<<endl;            continue;        }        else            cout<<"Yes"<<endl;        sum/=2;        st0(choose);        sort(num,num+n);        for(int i=n-1;i>=0;--i)        {            if(sum-num[i].first>=0)            {                sum-=num[i].first;                choose[num[i].second]=1;            }        }        for(int i=0;i<n;++i)        {            if(i!=0) cout<<" ";            if(choose[i]) cout<<1;            else cout<<-1;        }        cout<<endl;    }    return 0;}