bzoj3171循环格（费用流）

一个循环格就是一个矩阵，其中所有元素为箭头，指向相邻四个格子。每个元素有一个坐标（行，列），其中左上角元素坐标为（0,0）。给定一个起始位置（r，c）
，你可以沿着箭头防线在格子间行走。即如果（r,c）是一个左箭头，那么走到（r，c-1）;如果是右箭头那么走到（r，c+1）；如果是上箭头那么走到（r-1，c）；如果是下箭头那么走到（r+1，c）；每一行和每一列都是循环的，即如果走出边界，你会出现在另一侧。
一个完美的循环格是这样定义的：对于任意一个起始位置，你都可以i沿着箭头最终回到起始位置。如果一个循环格不满足完美，你可以随意修改任意一个元素的箭头直到完美。给定一个循环格，你需要计算最少需要修改多少个元素使其完美。

费用流+二分图模型

我们通过分析题目可得，成为一个完美的循环格，分析其本质，其实就是每一个点入度和出度都必为一。（这是分析题目得到的，以下我会给出一个证明方法）

那么，将每一个格子拆成两个点，一个表示出度，一个表示入度，做全图的最大匹配，就是为每一个点找一个唯一入度和唯一出度

因为转方向需用费用，那么一个点向其原本指向的那个格子费用就是0，其他的格子费用就是1，然后跑费用流

证明（只有每一个点入度出度都唯一才可以有）：

首先，每一个格子一定只可能有一个入度，那么总的入度个数就是格子的数量，一个入度产生一个出度，因此出度的总数也是格子的总数

实际上一个格子有可能有多个出度，但是因为总的入度就那么多，假设有一个格子的入度有两个，那么因为总的入度就是格子的数量，说明肯定有格子是没有入度的，所以不可能走到它了。   证毕！

这题不必局限于如何转，而是需要挖掘题目的本质，寻找数学模型

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<queue>using namespace std;const int N=350;const int inf=0x3f3f3f3f;const int qx[]={0,0,1,-1};const int qy[]={1,-1,0,0};int n,m,s,t,id1[20][20],id2[20][20];int dis[1005],head[1005],tot,pre[1005],now[1005];bool b[1005];struct aa{int to,pre,cap,flow,w;}edge[100005];void addedge(int x,int y,int z,int w){edge[++tot].to=y;edge[tot].cap=z;edge[tot].w=w;edge[tot].pre=head[x];head[x]=tot;edge[++tot].to=x;edge[tot].cap=0;edge[tot].w=-w;edge[tot].pre=head[y];head[y]=tot;}bool spfa(){memset(dis,inf,sizeof(dis));memset(b,false,sizeof(b));memset(pre,0,sizeof(pre));memset(now,0,sizeof(now));queue<int> q;q.push(s);dis[s]=0;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();for (int i=head[u];i;i=edge[i].pre)if (edge[i].cap>edge[i].flow&&dis[edge[i].to]>dis[u]+edge[i].w){dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].w;now[edge[i].to]=i;pre[edge[i].to]=u;if (!b[edge[i].to]){b[edge[i].to]=true;q.push(edge[i].to);}}b[u]=false;}return dis[t]!=inf;}int work(){int ans=0;while (spfa()){int flow=inf;for (int i=t;i!=s;i=pre[i])flow=min(flow,edge[now[i]].cap-edge[now[i]].flow);ans+=flow*dis[t];for (int i=t;i!=s;i=pre[i])edge[now[i]].flow+=flow,edge[((now[i]-1)^1)+1].flow-=flow;}return ans;}int wx(int x){if (x>n) return 1;if (x<1) return n;return x;}int wy(int y){if (y>m) return 1;if (y<1) return m;return y;}int main(){scanf("%d%d",&n,&m);int bj=0;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++) id1[i][j]=++bj;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++) id2[i][j]=++bj;s=0,t=bj+1;char ch[20];for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",ch+1);for (int j=1;j<=m;j++){int k;switch(ch[j]){case 'R':k=0;break;case 'L':k=1;break;case 'D':k=2;break;case 'U':k=3;break;}for (int l=0;l<4;l++){int xx=i+qx[l],yy=j+qy[l];xx=wx(xx);yy=wy(yy);int cost;if (k!=l) cost=1;else cost=0;addedge(id1[i][j],id2[xx][yy],1,cost);}}}for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++){addedge(s,id1[i][j],1,0);addedge(id2[i][j],t,1,0);}printf("%d",work());return 0;}

总结

1：在思考某些问题的时候，不必局限于如何转，而是需要挖掘题目的本质，寻找适合的数学模型。从而转化为另一个便于解决的问题。