HDU 4704

 Sum

Time Limit:1000MS     Memory Limit:131072KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u

Submit Status

Description

Input

2

Output

2         
           
    Hint   
1.  For N = 2, S(1) = S(2) = 1.2.  The input file consists of multiple test cases.
给定一个数n 将其分解，Si 表示将n拆成i个数的方案数
求sum( si ) 1<=i<=n;
分析：
隔板原理， n个木棍，n-1个缝，
分成1份则是C(n-1,0);
分成2份则是C(n-1,1);
分成3份则是C(n-1,2);
...
分成n份则是C(n-1,n-1);
ans = sum( C(n-1,i) ) (0<=i<=n-1)
=2^(n-1);
由于要取模而且 2与 mod 互质，因此可以用费马小定理来降幂

题目要求s1+s2+s3+...+sn;//si表示n划分i个数的n的划分的个数,如n=4,则s1=1,s2=3
假设An=s1+s2+s3+...+sn;
对于n可以先划分第一个数为n,n-1,n-2,...,1，则容易得出An=A0+A1+A2+A3+...+A(n-1);
=>A(n+1)=A0+A1+A2+A3+...+An =>An=2^(n-1);
由于n非常大,所以这里要用到费马小定理:a^(p-1)%p == 1%p == 1;//p为素数
所以2^n%m == ( 2^(n%(m-1))*2^(n/(m-1)*(m-1)) )%m ==(2^(n%(m-1)))%m * ((2^k)^(m-1))%m == (2^(n%(m-1)))%m;//k=n/(m-1)
2^n%m＝(2^(n%(m-1)))%m
然后快速幂
费马小定理（Fermat Theory）是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。该定理是1636年皮埃尔·德·费马发现的。
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int N = 1000000;char str[N];const int  mod = 1000000007;typedef long long LL;LL quick(LL x, LL n);int main(){    while(scanf("%s", str)!=EOF)    {        LL n=0;        for(int i=0;str[i];i++)        {            n=(n*10+(str[i]-'0'))%(mod-1);        }        printf("%I64d\n",quick(2,n-1)%mod);    }    return 0;}LL quick(LL x, LL n){    LL r=1;    while(n!=0)    {        if(n&1)        {            r=(r*x)%mod;        }        x=(x*x)%mod;        n>>=1;    }    return r;}