2016ccpc 1002(hdu5833)题解 (高斯消元求异或方程组自由变元)

比赛结束才知道是个高斯消元的题目,吓得我赶紧学了一发,然后惊讶的发现白皮书上原题QAQ.

由于刚学会,虽然是手敲但有些细节还是比对了模板,所以并不能解释,先放一发代码,等熟练了再补.

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时隔两个月终于有时间和精力来把这题来理一理了。

这个题比较重要的一点是想到把每个数分解成素数的幂次，这样的话， 每个数相乘的结果，只要每个素数的幂都是偶数，就能保证乘积是平方数了。

所以把每个数分解，列出每个数在所有可能的素因子的幂的加和，要求结果为偶数，这样的话等价于每一项都对2取模，每个等式右边要求结果都为0。

如果能分解成n个素因子，那么就有n个等式，每个等式等于号左边是每个数在这个素因子上的幂对2取模，等式右边为0.

现在求有几种组合能使乘积为平方数，即线性方程组有多少个解，那么简单了，只需要求出自由变元数量ans，2的ans次-1即答案，因为题目要求不能一个数都不取，所以需要减去都为0的情况。求自用变元就是高斯消元模板了，在代码里介绍吧。

代码:

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cstdlib>using namespace std;int prim[400];int v[2005];long long x[400];int a[400][400];int k;const int mod=1000000007;void pri(int maxn){    int i, j;    for(i=2; i<=maxn; i++)    {        if(!v[i])        {            prim[k++]=i;            for(j=i; j<=maxn; j+=i)            {               v[j]=0;                                                                                   v[j]=1;            }        }    }}long long quick_mod(int m, long long n){    long long ret=1;    long long term=m;    while(n>0)    {        if(n%2==1)ret=(ret*term)%mod;        n>>=1;        term=(term*term)%mod;    }    return ret;}int gauss(int var, int equ){    int i, j;    int col, maxr;    int k=0;    for(k=0, col=0; k<equ && col<var; k++, col++)    {        maxr=k;        for(i=k; i<equ; i++)        {            if(abs(a[i][col])>abs(a[maxr][col]))maxr=i; //找到这一列最大的那个数，用于消去这一列以下的数，这里为1即可        }        if(a[maxr][col]==0)  //如果这一列已经都为0，继续对当前的行操作        {            k--;            continue;        }        for(j=col; j<var+1; j++)        {            swap(a[k][j], a[maxr][j]);   //将选出的这一列最大的数对应的行交换到k行        }        for(i=k+1; i<equ; i++)        {           if(a[i][col]!=0)  for(j=col; j<var+1; j++)            {                {                    a[i][j]^=a[k][j];  // 消去col的1                }            }        }    }    for(i=k; i<equ; i++)    {        if(a[i][col]!=0)return -1;    }    if(var>k)return var-k;  //变元数减去秩即自由变元数    return 0;}int main(){    int t;    pri(2000);    scanf("%d", &t);    int e=1;    while(t--)    {        int n;        scanf("%d", &n);        int i, j;        memset(a,0,sizeof(a));        for(i=0; i<n; i++)        {            scanf("%lld", &x[i]);        }        for(i=0; i<n; i++)        {            for(j=0; j<k; j++)            {                int c=0;                while(x[i]%prim[j]==0)                {                    x[i]/=prim[j];                    c++;                }                if(c&1)                a[j][i]=1;            }        }        long long ans=gauss(n, k);        printf("Case #%d:\n", e++);        printf("%lld\n", quick_mod(2,ans)-1);    }    return 0;}