【JZOJ 4714】 公约数

Description

给定一个正整数，在[1,n]的范围内，求出有多少个无序数对(a,b)满足gcd(a,b)=a xor b。
对于100%的数据满足n<=10^7

Analysis

正解异常简单。
对于任意数对(a,b)，不妨设a>b。
首先a xor b=c⇒a xor c=b
设a−b=c
gcd(a,b)=gcd(a−b,b)≤a−b
又a xor b≥a−b，这个的证明很简单，二进制拆开看一看就可以发现。
你发现了什么？
gcd(a,b)≤c≤a xor b
又
gcd(a,b)=a xor b=c=a−b
所以我们可以枚举c，因为a是其倍数，所以枚举会快很多。因为gcd(a,a−c)=c，所以只需判断a xor c=a−c=b即可
时间复杂度为O(n/1+n/2+⋯+n/n)=O(nlogn)

Code

225bytes

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)using namespace std;int main(){    int n,ans=0;    scanf("%d",&n);    fo(i,1,n)        for(int j=i+i;j<=n;j+=i)            if((i^j)==j-i) ans++;    printf("%d",ans);}