大整数乘法

整数乘法问题: 设A和B为两个N位的整数，计算它们的乘积A · B。

要执行一位乘法多少次？ N^2次

分治法思想

令N为偶数，则A和B可表示为
其中a1和a2分别为A的前半部和后半部。

bl 和b2则分别为B的前半部和后半部。如果按下述方法得到积(多项式相乘)
 

估算时间效率是多少(即需要多少次一位乘法)？
则要4次N/2位乘法，即N2次一位乘法。因此这种方法没有改进原来的方法。

此时需要乘法多少次？
    这种方法需要3次n/2位的乘法及一些加减法。
    记C(n)为计算两个n位整数相乘所需的基本操作执行次数，则有
         C(n)=3C(n/2)+k·n 
         C(1)=1    
其中，k为常数，KN表示加法、减法所需时间与N成正比。
    解此递归方程，得

其原理在于乘法操作所需时间比加法多得多，因此减少乘法次数，
虽然代价为增加加法运算，总的效果还是加速了运算.
大整数(500比特或1024比特)的乘法用于加密和认证.

网上一道题，若两个大整数位数不同，如何求解？（来自http://www.acmerblog.com/c语言程序设计-大整数乘法数组应用-1220.html）

【问题描述】求两个不超过200位的非负整数的积。

【输入形式】有两行，每行是一个不超过200位的非负整数，没有多余的前导。

【输出形式】一行，即相乘后的结果。结果不能有多余的前导0，即如果结果是342，那么就不能输出为0342。

【样例输入】12345678900

                     98765432100

【样例输出】1219326311126352690000

【样例说明】这两个大整数相乘所得的结果是1219326311126352690000。

01#include <stdio.h>

02char strnum1[210], strnum2[210];

03int num1[210], num2[210], ans[40000];

04int main(){

05    gets(strnum1);

06    gets(strnum2);

07    int m = 0, n = 0;

08 

09    //将字符串转化为数字

10    while (strnum1[m]){

11        num1[m] = strnum1[m] - '0';

12        m++;

13    }

14    while (strnum2[n]){

15        num2[n] = strnum2[n] - '0';

16        n++;

17    }

18    int up; //进位

19    int tmp ; //临时变量

20    int k, p, i, j; // k,p 记录计算的位置

21    for (i = m - 1, k = 0; i >= 0; i--, k++){

22        tmp = 0, up = 0;

23        for (j = n - 1, p = 0; j >= 0; j--, p++){

24            tmp = num1[i] * num2[j] + up + ans[k + p];

25            ans[k + p] = tmp % 10;

26            up = tmp / 10;

27        }

28        if (up > 0)

29            ans[k + p] = up;

30    }

31    int len = m * n;

32    while (ans[len--] == 0);

33    //逆序输出

34    for (int i = len + 1; i >= 0; i--)

35        printf("%d", ans[i]);

36    return 0;

37}