漫步微积分二十三——重力作用下的运动 逃逸速度和黑洞
来源:互联网 发布:淘宝直播代购是真的吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 15:49
微积分发展的许多原始灵感来自于力学,这两个主题到今天为止一直是不可分割的。力学建立在牛顿提出的基本原则上。这些原则的陈述需要导数的概念,在本文我们会看到这些应用依赖于积分和微分方程的解。
直线运动是沿着一条直线的运动,与之相对应,沿着曲线的运动有时称为曲线运动。我们目前是研究单个微粒的直线运动,也就是说,将质量为
质点的位置完全取决于坐标系的选择(图1)。因为质点移动,
图1
速度(speed)是速度(velocity)的绝对值。一般情况,移动质点的速度随着时间而改变,加速度
它的正负取决于
牛顿力学的基本假设是力引起速度的变化,也就是说加速度是由力造成的。力的概念来源于我们日常中的主观感受,例如当我们推一辆车或者扔一个石头时我们改变了物理的速度。对于直线运动,我们假设运动是一个具体数值,它的正负由运动方向的正负确定。
牛顿第二运动定律说质点的加速度和作用在它上面的力
或等价地
如果力加倍,那么根据(1)加速度也加倍;如果质量加倍,那么加速度减倍。在这种情况下,物体的质量可以解释为抑制加速力的能力。
等式(2)可以看做力的一种定义,因为右边的量都可以计算得到,他们确定力力。另一方面,力
此式有深远的影响,在合适的初始条件下,通过求解(3)可以得出任意时间
例1:质量为
解:最重要的例子就是大家熟悉的重力。根据实验结果,我们知道作用在石头上的重力竖直向下并且
图2
方程两边积分两次得
其中
条件
如果我们改变条件,在
(4)(5)变为
需要说明的是,在我们的讨论中我们忽略掉了空气阻力,假设只要重力作用在落石上。也可以考虑空气阻力,但是那样方程(3)会变得很复杂,以至于我们无法解决。不过我们会在后面讨论这个主题。
我们还说明了如果距离单位用
从第一个方程可以看出石头的速度以每秒
例2:从高为
解:我们取原点为地面,正方向朝上的坐标轴(图3)。因为重力是竖直向下的,根据方程(2),力和加速度有相同的符号,石头的加速度为
对它积分得
利用初始条件
再次积分得
因为
这就是任何时刻
图3
为了找到石头的最大高度,我们将(9)写为以下形式
这说明在
当
当
为了求出落地时石头的速度和加速度,我们将
这些例子中加速度都是重力产生的,所以都是个常数。对于地球表面运动的物体几乎如此。然而,为了研究太空中物体的运动,我们必须了解到,重力是变化的,并且跟物理离地球中心距离的平方反向变化。
例3:假设火箭以初始速度
解:根据牛顿万有引力定律,宇宙中任何两个物体之间存在引力,这和他们的质量成正比,距离的平方成反比。根据题意(图4),地球吸引火箭的力
其中
图4
根据牛顿第二定律
所以
这告诉我们火箭额运动不依赖于自身的重量。注意到
因为
下一步是利用链式法则消除方程中的
方程(12)就变为
分离变量并积分得
或者
为了估计常数
故
将其代入(13)得
从(14)得到的结论如下;火箭要想从地球表面逃离,那么
注解1:利用例子中的方法,
注解2:大多数恒星由于内部的辐射力保持着气态、膨化态。辐射力是由于内部核燃料的燃烧造成的。当核燃料散发的时候,恒星因为引力坍塌变成几乎质量不变体积变小的球体。减小的质量能够维持两种类型的平衡,这取决于恒星的质量。当质量小于1.3个太阳质量时,是一种类型,如白矮星。当质量介于1.3和2个太阳质量之间时,产生中子星。对于质量更大的,不可能存在平衡,坍塌会继续直到表面的逃逸速度达到光速为止。这种类型的恒星完全看不见,因为没有任何辐射能够逃离。这就是所谓的黑洞。
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