漫步微积分二十七——曲线下的面积 定积分 黎曼
来源:互联网 发布:淘宝一口价怎么选择 编辑:程序博客网 时间:2024/05/08 00:35
我们继续讨论我们要解决的问题。
图1}
像这里提到的闭区间会经常出现在我们的讨论中,所以我们用更简短的符号
这种函数具有几个基本属性:它是有界的,也就是说存在常数
回到图1,符合在
这个过程的效果如图2,矩形越细,它的数目就越多。
现在我们引入一些合适的符号更准确的描述这个想法。
图2
依然是,
子区间为
如图3所示。我们用
图3
因为子区间长度相等,很明显
对于图3的情况,
用sigma符号来简化求和公式得
(1)就变成了
这个公式正确性自然不言而喻,但从某些方面来说它不方便而且限制也比较多。我们扩大一下它的范围并深化其意义。
注解1:子区间(3)的长度没有必要一定相等。事实上,如果去掉了这个限制,基本理论将大大简化。因此,我们允许子区间(3)长度不相等,以便增量(4)彼此间可以不同。在公式(6)中,就没必要让
其中
注解2:(5)的总和称为下部和,因为它使用的内接矩形和从区域的下方逼近面积。我们也可以从上面逼近面积。粗略地说,我们依然使用之前的子区间作为底,但我们构建的矩形是曲线上面最低的。
为了用符号说明,我们用
矩形面积之和为
这称作上部和,因此它从上面逼近区域面积,如图4所示。几何直觉告诉我们,当取上部和的极限时,我们同样能得到较好的区域面积,所以我们有
然而,除了直觉(有时会产生误导)外,它可以用纯数学定理来证明,对任何连续函数,(7)(9)的极限都存在且有相同的函数值。
图4
更进一步,如果
那么(7)(9)描述的定理就能换成如下的形式
其中对
注解3:(10)或(7)或(9)的极限用标准的莱布尼兹符号表示是
如果要写出(11)的定义,
左侧符号的每一部分都在提醒我们相应的右侧逼近和的部分。积分符号
积分符号上的数字
(11)中的函数
注解4:目前为止,我们采纳朴素但合理的态度,即图像区域下方的面积明显存在,而且我们需要做的是设计方法来计算它。然而,下面的示例表明,情况比我们想象的要复杂。
考虑区间
图像如图5所示,这个函数是不连续的,因为至少存在一个无理数介于每对有理数之间并且至少存在一个有理数介于每对无理数之间。根据此图,区域的面积是什么呢?很容易看到每个下部和是0而上部和是1,所以由(7)计算面积的面积是0和由(9)计算的面积是1。此外,(12)右边的极限不存在。像这种情况,面积的概念还有意义吗?
这个怪异的例子给出了以下间接但更有逻辑的面积问题的求法。如果我们给定一个有界的非负函数
图5
这里定义的定积分通常称为黎曼积分,他是十九世纪德国数学家,因为他第一个给出了不连续函数积分的详细讨论,所以为了纪念他就称为黎曼积分。此外,(12)右侧的和通常称为黎曼和。
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