漫步微积分二十八——极限思想下的面积计算
来源:互联网 发布:药物合成工艺优化 编辑:程序博客网 时间:2024/05/19 23:15
上篇文章中讨论的概念给出了计算面积的实际过程。现在我们利用一些实例来测试这个过程是如何工作的。
例1:考虑区间
图1
矩形的底是
于是我们有
利用之前讲过的求和公式,可以写成
所以我们得到
这就是开始我们得到的。用定积分的符号表示就是
在本例中我们选择了相等的子区间及上部和。不代表必须作出这些选择;我们的目的仅仅是为了使计算尽可能容易。
例2:现在考虑区间
从而得到
利用前面文章提到的公式,上式可写为
当
或等价地
图2
用同样的方式我们可以得到
很自然地我们根据(2)(3)(4)可以猜想
它可能对所有正整数
例3:接下来,我们找出余弦曲线
从而
为了计算
其中
为了计算极限,考虑到余弦函数是连续的,可以看出
接下来,如果选
利用这些事实(6)可写为
或者等价地
图3
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