JZOJ4479【GDOI2016模拟4.26】游戏 线段树维护多条线段的信息

题目大意

给你一颗N个节点树，每条边都有有一个距离。每个点都有一个初始权值，为123456789123456789。现在有两种操作：
Ord=1：给定四个整数S，T，A，B。表示把S到T之间的点都插入一个值为A∗Dis+B的权值，Dis为这个点到S的距离（一个点可以有多个权值）。
Ord=2：给定两个整数S,T，表示询问S到T之间所有点最小权值。

N,M≤105

解题思路

很显然这道题目在每个点上只需记录一下最小的权值就可以了。而在树上的情况比较复杂，我们可以先讨论以下在序列上的情况。

对于序列，我们可以把距离抽象成x轴坐标，最小权值抽象成y轴坐标。那么对于一个修改操作要插入的权值我们就可以抽象成一条线段。然后拿这条线段去更新原图中的最小值，即把这条线段放到坐标系中，如果有在这条线段上方的点，就把它改成线段上的点。每次询问就是找一段区间内最小的y值。
其实我们可以用线段树来维护直线的信息。

对于线段树的每个节点维护一个直线L，假设当前要往区间[l,r]中加入直线P。首先我们要求出x要满足什么范围时P的值比L的值更优，或L的值比P更优。很显然，对于两条直线，肯定有一个可以覆盖该区间的一半。设Good为能覆盖一半的直线，Bad为另一条。然后我们将这个区间的L赋为Good，但是Good也许不能覆盖整个区间，所以区间的另一半需要我们把Bad递归进去处理。

对于查询操作，只需沿线段树往下走，把每个区间的L更新一下答案就可以了。

那么对于树上的情况，我们只需要把把树剖分一下，把线段分成几段，再用对序列的维护方法维护一下就可以了。

程序

//YxuanwKeith#include <cstring>#include <cstdio>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 3e5 + 5;const LL Inf = 123456789123456789;struct Node {    int l, r;    Node (int a, int b) {l = a, r = b;}    Node () {}};struct Cross {    LL a, b;    Cross(LL x, LL y) {a = x, b = y;}    Cross() {};};struct Tree {    LL Min;    bool Flag;    Cross Line;} Tr[MAXN * 4];LL Dis[MAXN];Node L[MAXN], R[MAXN];int N, M, Bel[MAXN];int tot, Last[MAXN], Next[MAXN * 2], Go[MAXN * 2], Len[MAXN * 2];int time, Ord[MAXN], Size[MAXN], MSon[MAXN], Top[MAXN], Pre[MAXN], Deep[MAXN];void Link(int u, int v, int w) {    Next[++ tot] = Last[u], Last[u] = tot, Go[tot] = v, Len[tot] = w;}void Basis(int Now, int Fa, LL len) {    Dis[Now] = Dis[Fa] + len;    Size[Now] = 1, Deep[Now] = Deep[Fa] + 1;    Pre[Now] = Fa;    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {        int v = Go[p];        if (v == Fa) continue;        Basis(v, Now, Len[p]);        Size[Now] += Size[v];        if (Size[v] > Size[MSon[Now]]) MSon[Now] = v;    }}void Promote(int Now, int top) {    if (!Now) return;    Top[Now] = top;    Ord[Now] = ++ time;    Bel[time] = Now;    Promote(MSon[Now], top);    for (int p = Last[Now]; p; p = Next[p]) {        int v = Go[p];        if (v == Pre[Now] || v == MSon[Now]) continue;        Promote(v, v);    }}void Build(int Now, int l, int r) {    Tr[Now].Min = Inf;    if (l == r) return;    int Mid = (l + r) >> 1;    Build(Now * 2, l, Mid), Build(Now * 2 + 1, Mid + 1, r);}void Prepare() {    Basis(1, 0, 0), Promote(1, 1);    Build(1, 1, N);}LL Calc(Cross Now, int Side) {    return Now.a * Dis[Bel[Side]] + Now.b;}LL GetMin(Cross Now, int l, int r) {    return min(Calc(Now, l), Calc(Now, r));}void Update(int Now, int l, int r) {    LL Ans = Inf;    if (Tr[Now].Flag) Ans = GetMin(Tr[Now].Line, l, r);    if (l == r) {        Tr[Now].Min = Ans;        return;    }    Tr[Now].Min = min(Ans, min(Tr[Now * 2].Min, Tr[Now * 2 + 1].Min));}void Modify(int Now, int l, int r, int lx, int rx, Cross New) {    if (r < lx || rx < l || l > r) return;    int Mid = (l + r) >> 1;    if (l >= lx && r <= rx) {        if (!Tr[Now].Flag) {            Tr[Now].Line = New;             Tr[Now].Flag = 1;            Update(Now, l, r);            return;        }        Cross Good = Tr[Now].Line, Bad = New;        if (Calc(New, Mid) < Calc(Good, Mid)) swap(Good, Bad);        Tr[Now].Line = Good;        if (l != r) {            if (Calc(Bad, r) < Calc(Good, r)) Modify(Now * 2 + 1, Mid + 1, r, lx, rx, Bad); else                Modify(Now * 2, l, Mid, lx, rx, Bad);        }        Update(Now, l, r);        return;    }    Modify(Now * 2, l, Mid, lx, rx, New), Modify(Now * 2 + 1, Mid + 1, r, lx, rx, New);    Update(Now, l, r);}void Modify(int s, int t, LL a, LL b) {    int NumL = 0, NumR = 0, u = s, v = t;    while (Top[u] != Top[v]) {        if (Deep[Top[u]] > Deep[Top[v]]) {            L[++ NumL] = Node(Ord[Top[u]], Ord[u]);            u = Pre[Top[u]];        } else {            R[++ NumR] = Node(Ord[Top[v]], Ord[v]);            v = Pre[Top[v]];        }    }    int top;    if (Deep[u] < Deep[v]) R[++ NumR] = Node(Ord[u], Ord[v]), top = u; else        L[++ NumL] = Node(Ord[v], Ord[u]), top = v;    for (int i = 1; i <= NumL; i ++)         Modify(1, 1, N, L[i].l, L[i].r, Cross(-a, a * Dis[s] + b));    for (int i = NumR; i; i --)         Modify(1, 1, N, R[i].l, R[i].r, Cross(a, a * (Dis[s] - 2 * Dis[top]) + b));}LL Query(int Now, int l, int r, int lx, int rx) {    if (r < lx || l > rx) return Inf;    if (l >= lx && r <= rx) return Tr[Now].Min;    int Mid = (l + r) >> 1;    LL Ans = Inf;    if (Tr[Now].Flag) Ans = GetMin(Tr[Now].Line, max(l, lx), min(r, rx));    return min(Ans, min(Query(Now * 2, l, Mid, lx, rx), Query(Now * 2 + 1, Mid + 1, r, lx, rx)));}void Query(int u, int v) {    LL Ans = Inf;    while (Top[u] != Top[v]) {        if (Deep[Top[u]] < Deep[Top[v]]) swap(u, v);        Ans = min(Ans, Query(1, 1, N, Ord[Top[u]], Ord[u]));        u = Pre[Top[u]];    }    if (Deep[u] < Deep[v]) swap(u, v);    Ans = min(Ans, Query(1, 1, N, Ord[v], Ord[u]));    printf("%lld\n", Ans);}int main() {    scanf("%d%d", &N, &M);    for (int i = 1; i < N; i ++) {        int u, v, w;        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);        Link(u, v, w), Link(v, u, w);    }    Prepare();    for (int i = 1; i <= M; i ++) {        int Ord, s, t;        scanf("%d%d%d", &Ord, &s, &t);        if (Ord == 1) {            LL a, b;            scanf("%lld%lld", &a, &b);            Modify(s, t, a, b);        } else Query(s, t);    }}