欧拉降幂

欧拉定理：aϕ(m)≡1(modm)|(m,a)=1。
欧拉降幂：an≡aϕ(m)an modϕ(m)(modm)。
其实这个技巧在《初等数论及其应用》中略有提到，在P173中的第20题提到了一个式子：am≡am−ϕ(m)(modm)，显然，由这个式子可以知道，a的幂在模m下产生的最小循环节长度k必然满足k|ϕ(m)，再推出降幂公式就十分简单了。
考虑直接证明k|ϕ(m)。设a=xd,d=(a,m),m′=md，a在模m下的最小指数循环节长度为k，a在模m′下的最小指数循环节长度为k′。
1.k=k′。
因为a的幂在模m下产生的集合必然是其在模m下由加法（即ia）产生的集合的子集，故在模m下有d|ai。那么：

aixidixidi−1ai−1≡z(modm)≡z(modm)≡zd−1(modm′)≡zd−1x−1(modm′)

因为模m下d|ai，故zd−1必然是一个落在[0,m′)的数，即一个模m′的最小正剩余，同时因为(x,m′)=1，所以x−1一定合法。即每一个模m下的ai，都对应着一个m′下的不同的数，故k=k′。
2.由欧拉定理，有k′|ϕ(m′)，故k|ϕ(m′)。因为欧拉函数积性，有ϕ(m′)|ϕ(m)。所以k|ϕ(m)，证毕。