51Nod Problem 1102 面积最大的矩形(DP)

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 51Nod Problem 1102 面积最大的矩形

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 Problem Description

有一个正整数的数组，化为直方图，求此直方图包含的最大矩形面积。例如 2,1,5,6,2,3，对应的直方图如下：

面积最大的矩形为5,6组成的宽度为2的矩形，面积为10。

 Input

第1行：1个数N，表示数组的长度(0 <= N <= 50000)

第2 - N + 1行：数组元素A[i]。(1 <= A[i] <= 10^9)

 Output

输出最大的矩形面积

 Sample Input

6
2
1
5
6
2
3

 Sample Output

10

 Hint

 Problem Idea

解题思路:

【题意】
求直方图的最大矩形面积,每个宽度为1,数组a表示每块的高度

【类型】
动态规划

【分析】

如果做过类似题目的话,这题就非常得心应手了

我们只需预处理出以a[i]作为矩阵的宽时,该矩阵的长能延伸何处,然后枚举每个矩形,挑选出面积最大的即可

就比如样例

预处理的结果为:

故结果为10

那么此题的动态规划用在何处呢?

莫急,在我们求解矩形的长时,要计算矩形左边会延伸至何处,右边延伸至何处

显然,这部分不可能每次都遍历一遍,这样复杂度太高

我们要借助之前求得的值来减少访问次数,例如以i位置为起点,向左延伸

首先和i-1位置的高度进行比较,若a[i-1]<a[i],那这矩形已经无法再延伸下去了,所以l[i]=i;

若a[i-1]≥a[i],说明可以延伸下去,而且至少能延伸至l[i-1],为什么呢?

因为a[i-1]能延伸至l[i-1],说明这部分的高度通通都是大于等于a[i-1]的,而a[i-1]≥a[i],所以a[i]也必定可以延伸至l[i-1]

同理,处理出r[i],这样以a[i]作为矩形的宽时,矩形的长为r[i]-l[i]+1

【时间复杂度&&优化】
O(nlogn)

题目链接→51Nod Problem 1102 面积最大的矩形

 Source Code

/*Sherlock and Watson and Adler*/#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<queue>#include<stack>#include<math.h>#include<vector>#include<map>#include<set>#include<bitset>#include<cmath>#include<complex>#include<string>#include<algorithm>#include<iostream>#define eps 1e-9#define LL long long#define PI acos(-1.0)#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)using namespace std;const int N = 50005;const int M = 100005;const int inf = 1000000007;const int mod = 1000000007;__int64 a[N];int l[N],r[N];int main(){    int n,i,k;    __int64 ans=0;    scanf("%d",&n);    for(i=1;i<=n;i++)        scanf("%I64d",&a[i]);    for(i=1;i<=n;i++)    {        k=i-1;        while(a[i]<=a[k])            k=l[k]-1;        l[i]=k+1;    }    for(i=n;i>=1;i--)    {        k=i+1;        while(a[i]<=a[k])            k=r[k]+1;        r[i]=k-1;    }    for(i=1;i<=n;i++)        ans=max(ans,a[i]*(r[i]-l[i]+1));    printf("%I64d\n",ans);    return 0;}

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