01背包、完全背包、多重背包问题分析

背包问题可以用递归方法和动态规划方法，递归代码简洁，方便理解，不过由于重复计算，效率较低，DP方法将前面的计算结果保存到二维数组中，效率较高，值得推荐。

1. 01背包（ZeroOnePack）: 有n件物品和一个容量为m的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是weight[i]，价值是value[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

解题思路：对于每个物品只考虑两种情况（放or不放），放的前提是当前物品的重量小于背包的容量，而且放该物品时收获的总价值大于不放该物品时的总价值，我们使用weight数组表示物品的重量，value数组表示物品的价值，m表示背包的容量，n表示第n可以放或者不放，表示为递归函数关系可以表示如下：

if(weight[n]>m)return recursion(weight,value,m,n-1);elsereturn max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n-1)+value[n]);

上述递归方法会有大量的递归重复计算，为了避免发生这种情况，我们使用DP方法，创建一个二维数组保存res，则res[i][j]表示当背包容量为i时，将前j个物品放入背包能够获得的最大价值，若当前物品重量小于背包容量，则比较放该物品时的价值res[i-weight[j]][j-1]+value[j]和不放该物品时前j-1个物品放入容量为i的背包带来的最大价值res[i][j-1]，递归关系可以表示如下：

if(weight[j]<=i){res[i][j]=max(res[i][j-1],res[i-weight[j]][j-1]+value[j]);}elseres[i][j]=res[i][j-1];

DP程序源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}vector< vector<int> > res(m+1);for(int i=0;i<m+1;++i)res[i].resize(n+1);for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){if(i==0||j==0){res[i][j]=0;continue;}if(weight[j]<=i){res[i][j]=max(res[i][j-1],res[i-weight[j]][j-1]+value[j]);}elseres[i][j]=res[i][j-1];}}for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){cout<<res[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;}

递归方法程序源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int recursion(vector<int>& weight,vector<int>& value,int m,int n){if(m==0||n==0)return 0;if(weight[n]>m)return recursion(weight,value,m,n-1);elsereturn max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n-1)+value[n]);}int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}cout<<recursion(weight,value,m,n)<<endl;return 0;}

m=10;
n=5;
int array1[6]={0,2,2,6,5,4};
int array2[6]={0,6,3,5,4,6};

使用如上的一组测试数据，实验结果如下图所示：

2. 完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

解题思路：参考01背包思想，只有一点稍微的改动即可，当考虑将物品j放入容量为i的背包时，如果物品j的重量小于背包容量i，比较放入物品j时res[i-weight[j]][j]+value[j]和不放物品j时res[i][j-1]，只是第一种情况调整下基准位置的参考结果，物品可以放无数次。

DP方法程序源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}vector< vector<int> > res(m+1);for(int i=0;i<m+1;++i)res[i].resize(n+1);for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){if(i==0||j==0){res[i][j]=0;continue;}if(weight[j]<=i){res[i][j]=max(res[i][j-1],res[i-weight[j]][j]+value[j]);}elseres[i][j]=res[i][j-1];}}for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){cout<<res[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;}

递归方法源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int recursion(vector<int>& weight,vector<int>& value,int m,int n){if(m==0||n==0)return 0;if(weight[n]>m)return recursion(weight,value,m,n-1);elsereturn max(recursion(weight,value,m,n-1),recursion(weight,value,m-weight[n],n)+value[n]);}int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}cout<<recursion(weight,value,m,n)<<endl;return 0;}

3. 多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

解题思路：相比于前面描述的01背包和完全背包，这里多重背包增加了物品数量限制，所以在每次判断装入物品j时，判断最多能放入多少个物品j，针对每一个物品j计算最大价值，然后取最大的一个即可。

DP方法程序源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);vector<int> size(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};int array3[6]={0,1,1,4,5,1};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>size[i];size[i]=array3[i];}vector< vector<int> > res(m+1);for(int i=0;i<m+1;++i)res[i].resize(n+1);for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){if(i==0||j==0){res[i][j]=0;continue;}if(weight[j]<=i){int numOfValue=min(i/weight[j],size[j]);int maxValue=0;for(int k=0;k<=numOfValue;++k){int temp=res[i-weight[j]*k][j-1]+value[j]*k;maxValue=max(maxValue,temp);}res[i][j]=maxValue;}elseres[i][j]=res[i][j-1];}}for(int i=0;i<m+1;++i){for(int j=0;j<n+1;++j){cout<<res[i][j]<<" ";}cout<<endl;}return 0;}

递归方法程序源码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int recursion(vector<int>& weight,vector<int>& value,vector<int>& size,int m,int n){if(m==0||n==0)return 0;if(weight[n]>m)return recursion(weight,value,size,m,n-1);else{int numOfValue=min(m/weight[n],size[n]);int maxValue=0;for(int i=0;i<=numOfValue;++i){int temp=recursion(weight,value,size,m-weight[n]*i,n-1)+value[n]*i;maxValue=max(maxValue,temp);}return maxValue;}}int main(){int m,n;//cin>>m>>n;m=10;n=5;vector<int> weight(n+1,0);vector<int> value(n+1,0);vector<int> size(n+1,0);int array1[6]={0,2,2,6,5,4};int array2[6]={0,6,3,5,4,6};int array3[6]={0,1,1,4,5,1};for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>weight[i];weight[i]=array1[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];value[i]=array2[i];}for(int i=1;i<n+1;++i){//cin>>value[i];size[i]=array3[i];}cout<<recursion(weight,value,size,m,n)<<endl;return 0;}

实验结果：