编程之美读书笔记-1的数目

题目：给定一个十进制整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有1的个数。
1.写一个函数f(N)，返回1到N之间出现的1的个数，比如f(12)=5;
2.满足条件f(N)=N的最大的N是多少？
解析：仔细分析这个问题，给定了N，似乎就可以通过分析小于N的数在每一位上可能出现1的次数之和来得到这个结果。让我们来分析一下对于一个特定的N，如何得到一个规律来分析在每一位上所有出现1的可能性，并求和得到最后的f(N)。先从一些简单的情况开始观察，看看能不能总结出什么规律。
先看1位数的情况。
如果N>=1，那么f(N)都等于1，如果N=0，则f(N)为0。
再看2位数的情况。
如果N=13，那么从1到13的所有数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13，个位和十位的数字上都可能有1，我们可以将它们分开来考虑，个位出现1的次数有两次：1和11，十位出现1的次数有4次：10、11、12和13，所以f(N)=2+4=6。要注意的是11这个数字在十位和个位都出现了1，但是11恰好在个位为1和十位为1中被计算了两次，所以不用特殊处理，是对的。再考虑N=23的情况，它和N=13有点不同，十位出现1的次数为10次，从10到19，个位出现1的次数为1、11和21，所以f(N)=3+10=13。通过对两位数进行分析，我们发现，个位数出现1的次数不仅和个位数字有关，还和十位数有关：如果N的个位数大于等于1，则个位出现1的次数为十位数的数字加1；如果N的个位数为0，则个位出现1的次数等于十位数的数字。而十位数上出现1的次数不仅和十位数有关，还和个位数有关：如果十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为个位数的数字加1；如果十位数大于1，则十位数上出现1的次数为10。
f(13)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=2+4=6；
f(23)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=3+10=13；
f(33)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=4+10=14；
…
f(93)=个位出现1的个数+十位出现1的个数=10+10=20；
接着分析3位数。
如果N=123：
个位出现1的个数为13：1,11,21, …,91,101,111,121
十位出现1的个数为20：10～19, 110～119
百位出现1的个数为24：100～123
f(23)=个位出现1的个数+十位出现1的个数+百位出现1的次数=13+20+24=57。
根据上面的一些尝试，下面我们推导出一般情况下，从N得到f(N)的计算方法。
假设N=abcde，这里a、b、c、d、e分别是十进制数N的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现1的次数，它将会受到三个因素的影响：百位上的数字，百位以下(低位)的数字，百位(更高位)以上的数字。
如果百位上的数字为0，则可以知道，百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12013，则可以知道百位出现1的情况可能是100～199，1100～1199，2100～2199，…，11100~11199，一共有1200个。也就是由更高位数字(12)决定，并且等于更高位数字(12)×当前位数(100)。
如果百位上的数字为1，则可以知道，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，也就是由更高位和低位共同决定。例如对于12113，受更高位影响，百位出现1的情况是100～199，1100～1199，2100～2199，…，11100~11199，一共1200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字(12)×当前位数(100)。但是它还受低位影响，百位出现1的情况是12100～12113，一共114个，等于低位数字(123)+1。
如果百位上数字大于1(即为2~9)，则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12213，则百位出现1的可能性为：100～199，1100～1199，2100～2199，…，11100～11199，12100～12199，一共有1300个，并且等于更高位数字+1(12+1)×当前位数(100)。

#include<iostream>using namespace std;int Sum1(int n){int iCount = 0;int iFactor = 1;int iLowerNum = 0;int iCurrNum = 0;int iHigherNum = 0;while (n / iFactor != 0){iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor;iCurrNum = (n / iFactor) % 10;iHigherNum = n / (iFactor * 10);switch (iCurrNum){case 0:iCount += iHigherNum * iFactor;break;case 1:iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1;break;default:iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor;break;}iFactor *= 10;}return iCount;}int main(){cout << Sum1(234) << endl;return 0;}

要确定最大的数N，满足f(N)=N。我们通过简单的分析可以知道：
9以下为：1个；
99以下为：1×10+10×1=20个；
999以下为：1×100+10×20=300个；
9999以下为：1×1000+10×300=4000个
  …
999999999以下为：900000000个；
9999999999以下为：10000000000个。
容易从上面的式子归纳出：f(10^n-1)=n*10^(n-1)。通过这个递推式，很容易看到，当n=10^10-1时候，f（n）的开始值大于n，所以我们可以猜想，当n大于某一个数N时，f(n)会始终比n大，也就是说，最大满足条件在0～N之间，亦即N是最大满足条件f(n)= n的一个上界。如果能估计出这个N，那么只要让n从N往0递减，每个分别检查是否有f(n)= n，第一个满足条件的数就是我们要求的整数。因此，问题转化为如何证明上界N确实存在，并估计出这个上界。首先，用类似数学归纳法的思路来推理这个问题。很容易得到下面这些结论。
当n增加10时，f(n)至少增加1；
当n增加100时，f(n)至少增加20；
当n增加1000时，f(n)至少增加300；
当n增加10000时，f(n)至少增加4000；
……
当n增加10^k时，f(n)至少增加k*10^(k-1)。
把n按十进制展开，n=a*10^k得到f(n)=f(0+a*10^k+b*10^(k-1)+…) > a*k*10^(k-1)+b*(k-1)*10^(k-2)。又n=a*10^k+b*10^(k-1)+…<a*10^k+(b+1)*10^(k-1)。所以如果a*k*10^(k-1)+b*(k-1)*10^(k-2)>a*10^k+(b+1)*10^(k-1)的话，f(n)必然大于n。而要使上述不等式成立，k>10+(b+10)/(b+10*a)。显然当k>11时f(n)>n恒成立。因此，我们求得一个满足条件的上界N=10^11。从这个上界开始依次递减，检查是否有f(n)=n，第一个满足条件的就是我们要求的整数。得出n=1111111110是满足f(n)=n的最大整数。