高斯消元法

高斯消去法（高斯消元法，英语：Gaussian Elimination）是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。

高斯消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制：

2x + y - z = 8 (L1)

-3x - y + 2z = -11 (L2)

-2x + y + 2z = -3 (L3)

这个算法的原理是：

首先，要将L1 以下的等式中的x 消除，然后再将L2 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。

在刚才的例子中，我们将3/2 L1和L2相加，就可以将L2 中的x 消除了。然后再将L1 和L3相加，就可以将L3 中的x 消除。

我们可以这样写：

L2 + 3/2 L1→ L2

L3 + L1 → L3

结果就是：

2x + y - z = 8

1/2 y + 1/2 z = 1

2y + z = 5

现在将 − 4L2 和L3 相加，就可将L3 中的y 消除：

L3 + -4 L2 → L3

其结果是：

2x + y - z = 8

1/2y + 1/2z = 1

-z = 1

这样就完成了整个算法的初步，一个三角形的格式(指:变量的格式而言,上例中的变量各为3,2,1个)出现了。

第二步，就是由尾至头地将已知的答案代入其他等式中的未知数。第一个答案就是：

z = -1

然后就可以将z 代入L2 中，立即就可得出第二个答案：

y = 3

之后，将z 和y 代入L1 之中，最后一个答案就出来了：

x = 2

就是这样，这个方程组就被高斯消元法解决了。

这种算法可以用来解决所有线性方程组。即使一个方程组不能被化为一个三角形的格式，高斯消元法仍可找出它的解。例如在第一步化简后，L2 及L3 中没有出现任何y ，没有三角形的格式，照着高斯消元法而产生的格式仍是一个行梯阵式。这情况之下，这个方程组会有超过一个解，当中会有至少一个变量作为答案。每当变量被锁定，就会出现一个解。

通常人或电脑在应用高斯消元法的时候，不会直接写出方程组的等式来消去未知数，反而会使用矩阵来计算。以下就是使用矩阵来计算的例子：

2 1 -1 8

-3 -1 2 -11

-2 1 2 -3

跟着以上的方法来运算，这个矩阵可以转变为以下的样子：

2 1 -1 8

0 1/2 1/2 1

0 0 -1 1

这矩阵叫做“行梯阵式”。

最后，可以利用同样的算法产生以下的矩阵，便可把所得出的解或其限制简明地表示出来：

1 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 -1

最后这矩阵叫做“简化行梯阵式”，亦是高斯－约当消元法指定的步骤。