BZOJ2090/2089 [Poi2010]Monotonicity 2/Monotonicity

考虑dp，f[i]表示使得i在选出来的子序列里尽可能靠后的话，那么i最靠后可以作为第f[i]项

显然如果能求出每个i的f值，取max就是答案

然后我们要证明，每个f[i]只可能是由j<i的f[j]而转移过来的，即对于每个i，如果i出现在了答案中，那么i出现的位置一定是f[i]

也就是我们要说明，当j出现在答案中而j的位置不是f[j]时，f[i]不可能更大

那么我们假设i是第一个i，有j<i满足f[j]=x，j出现在答案中一个不是x的位置y（y<x)，而此时f[i]能更大

首先a[j]与a[i]一定不满足位置x的大小关系，且能满足位置y的大小关系，由此可以推出位置x与位置y的符号不同，以上三条显然

而且a[j]与a[i]一定不相等，由此和上边一行可以推出位置y不是等于号，也比较显然

因为f[j]=x，且i是第一个i满足由非f的地方转移过来，所以一定存在k<j，f[k]=y

那么我们一定有a[k]与a[i]不满足位置y的符号，因为否则i可以由k转移而j待在位置y就没有意义了

假设x位置是小于或等于号，那么由以上几行y位置一定是大于号，且一定有a[k]<a[i]

因为f[j]=x，那么一定有l满足k<l<j，a[l]<a[k]<a[i]且f[l]的位置是小于号，所以f[i]一定可以由f[l]转移并且比从位置y转移更优

x的位置上是大于号时亦然

证毕

知道了这些之后，把f[i]所在位置为大于号和小号的分别用权值树状数组维护一下最大值，等于号的直接开个数组记最大值就行了

#include<iostream>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<cstring>#include<ctime>#include<cmath>#include<algorithm>#include<iomanip>#include<queue>#include<map>#include<bitset>#include<stack>#include<vector>#include<set>using namespace std;#define MAXN 500010#define MAXM 1000010#define INF 1000000000#define MOD 1000000007#define ll long long#define eps 1e-8#define lb(x) x&-xint n,m;int a[MAXN];char o[MAXN];int ans;int f[MAXN];int c1[MAXM],c2[MAXM],c3[MAXM];void change(int *c,int x,int y){for(;x<MAXM;x+=lb(x)){c[x]=max(c[x],y);}}int ask(int *c,int x){int re=0;for(;x;x-=lb(x)){re=max(re,c[x]);}return re;}int main(){int i;char t[2];scanf("%d%d",&n,&m);for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&a[i]);}for(i=1;i<=m;i++){scanf("%s",t);o[i]=t[0];}for(i=m+1;i<=n;i++){o[i]=o[(i-1)%m+1];}for(i=1;i<=n;i++){f[i]=max(c3[a[i]],max(ask(c1,a[i]-1),ask(c2,MAXM-a[i])))+1;ans=max(ans,f[i]);if(o[f[i]]=='='){c3[a[i]]=max(c3[a[i]],f[i]);}if(o[f[i]]=='<'){change(c1,a[i],f[i]);}if(o[f[i]]=='>'){change(c2,MAXM-a[i]+1,f[i]);}}printf("%d\n",ans);return 0;}/**/