Linear Algebra - Lesson 1. 方程组的集合解释
来源:互联网 发布:mac rstudio xcode 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 05:04
Introduction
课程代码 : MIT 18.06
课程配套教材 : Introduction to Linear Algebra
课程在线网址 : web.mit.edu/18.06
在线网址里有习题和matlab代码等资源.
N linear equations, N unknows - 方程式组和矩阵
方程式组和矩阵之间存在天然的联系. 即方程式组可以用矩阵的形式很优雅的表达出来.
举一个简单的方程式组的例子 :
可以将未知变量的系数看作矩阵的元素,从而将原始方程式组转换为矩阵的形式表达出来, 如下所示 :
这里,我们将
矩阵
所以, 正如老师所说,
A matrix is just a rectangular array of numbers.
Row Picture - 矩阵的行图像
Row Picture, 也就是从行的角度来考虑矩阵内在的含义.
以上面的方程式组为例, 对于方程式(1)
Column Picture - 矩阵的列图像
从列的角度来看,上述方程式组可以看做列的线性组合(linear combination of columns)
现在从二维转换为三维, 有如下方程组:
同理可以得出对应的矩阵
同样,从column picture的角度来看上述方程式组,得出:
可以得出一个解为
对于上述方程式组,如果
以此类推,得出一个问题:
Can I solve
Ax=b for everyb ?
Or
Do the linear combinations of the columns fill three dimensional space?
是否对于任意的
对于上述方程式组,如果三个列向量均处在同一平面内,则无法通过线性组合方式生成不在这个平面内的向量,那么对于空间内其他不属于此平面的向量就无解.这种情况被称为奇异(singular case),该矩阵非可逆(not invertible),不是对于所有的
Matrix Form - 矩阵形式
矩阵乘以向量的形式(multiply a matrix by a vector) 表达为
e.g.
可以将其看作 1个列1 和 2个列 2 相加:
也可以通过点乘的方式求解:
Ax is a combination of the columns ofA .
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