Linear Algebra - Lesson 12. 图和网络

Schedule

• Graphs & Networks
• Incidence Matrices
• Kirchhoff’s Laws

Graph - 图

Graph : Nodes, Edges 图由节点和边构成.
potential : 电势
potential differences : 电势差
currents : 电流
图中节点和边的信息用关联矩阵(Incidence Matrix)来表示.
上图中的相关信息可以用如下关联矩阵表示,其中列和行分别表示第x个节点和不同的边,-1表示边的起点,1表示边的终点:

A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢−10−1−101−10000110−100011⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

其中边1,2,3构成一个回路.
在图中,回路的数量和位置至关重要.
从A中可以看出,行1,2,3是相关的,对应的分别是边1,2,3, 所以回路意味着相关(loops correspond to dependent).
与回路对应的行是线性相关的.
因为一条边只与两个节点相关,所以关联矩阵中每行只有两个非零值,该矩阵是一个稀疏矩阵(sparse matrix).

那么矩阵A的零空间是什么样的?
零空间是否只有零向量意味着A中各列是否线性相关.
我们可以通过求解Ax=0来确定矩阵A的零空间.

Ax=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢−10−1−101−10000110−100011⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢x1x2x3x4⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢x1−x2x3−x2x3−x1x4−x1x4−x3⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢00000⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

x=x1,x2,x3,x4(potentials at nodes)
→x2−x1,etc.(potential differences)
→y1,y2,y3,y4,y5 current on edges (Ohm's Law) 
→ATy=0(Kirchoff's Current Law)
可以解出一个解为 x=⎡⎣⎢⎢⎢1111⎤⎦⎥⎥⎥
零空间的一组基其实就是上述的解,因为零空间是一维的(???为什么是一维的???),将x乘以常数c就是整个零空间,具体表现为四维空间中的一条直线 .
如果各节点的电势相等,则不会出现电流. 根据求出的解,将x4的电势设为0(接地点),则其他点的电势也就可以求出,同时矩阵的秩也可以求出为3.

对于N(AT)来说,ATy=0,dimN(AT)=m−r
AT=⎡⎣⎢⎢⎢−11000−110−1010−100100−11⎤⎦⎥⎥⎥
根据KCL可以得出 −y1−y3−y4=0 表示节点1的合电流为0.
第二行为y1−y2=0,说明结点2流入电流等于流出电流.
同理,y2+y3−y5=0,y4+y5=0.

对于结点1,2,3构成的回路,可以得出零空间中的一个向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢11−100⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
同理,对于结点1,3,4构成的回路,可以得出零空间中的另一个向量⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢001−11⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
在结点1,2,3,4构成的回路中, 解出的向量将是上述两个向量的线性组合.
从A中得到没有回路的结构,y1,y2,y4, 表示的是没有回路的图,也就是树(Tree).

dimN(AT)=m−r→#loops=#edges−(#nodes−1)(rank=n−1)

从而得到欧拉公式(Euler’s formula) #nodes−#edges+#loops=1

将电势差记做e, 则e=Ax, y=Ce(电势差导致电流的产生),ATy=0(电流满足KCL定律方程),这是在无电源的情况下对应的方程.
如果存在外部电流源f,则ATy=f,从而求得ATCAx=f.

留下的问题: 可以从ATCA或ATA中得到什么?