【笔记】排列数与组合数（非完整）

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排列数的推导1
在 n 个数的集合中，每个数被认为是不相异的元素。

因此，生成排列时，第一个位置有 n 种选择方法， 第 2 个位置有 n-1 种， 第 3 个位置有 n-2 种， 直到第 n 个数有 1 种。

根据乘法原理， 从 n 个数中选取 n 个数进行排列：

Pnn=n∗(n−1)∗(n−2)∗(n−3)……∗1 , 即 n!

下面考虑从 n 个数种选取 m 个的情况：
假设有 n 个球放在一个袋子中，从袋子里抽出 m 个球不放回，那么抽出球的顺序就相当于一个排列，于是
Pmn=n∗(n−1)∗(n−2)∗(n−3)……∗(n−m+1) 可以化简为

Pmn=n!(n−m)!

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组合数的推导

还是 假设有 n 个球放在一个袋子中，从袋子里抽出 m 个球，不过先不考虑 球的顺序，我们只是取出 m 个球，那么可知 这就是 Cmn

接下来思考如何把取出来的球 变为排列？
答案是全排列。

那么我们可以知道 从一个 n 个球的袋子中 m 个球 的排列 可以分解为先取出 m 个球，再进行排列， 就是说 Pmn=Cmn∗m!

整理可得 Cmn=Pmn/m!

又因为：Pmn=n!(n−m)!
即：

Cmn=n!m!(n−m)!

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组合数的对称性

Cmn=Cn−mn

证明：

Cn−mn=n!(n−m)!(n−(n−m))!=n!(n−m)!n!=Cmn

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组合数的递推式2

Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1

证明：可以将 n 个元素分成2半。

n-1 和 1。
这里假设 右边的 那一个 为 元素 a。

我们进行分类讨论：
(1).如果我们所选的 m 个元素中不包含 a，那么我们需要再 在 n-1 里面选 m 个。即 Cmn−1

(2).如果我们所选的 m 个元素中包含 a，那么我们需要再 在 n-1里面选 m-1 个。即 Cm−1n−1

因为是分类 所以符合加法原理。

所以说Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1
的证。

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组合数的性质1

∑k=0nCkn=2n

证明：思考 以上公式的结果为 n 的全部子集。

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二项式定理

(a+b)n=∑r=0nCrnan−rbr

n个（a+b）相乘,是从（a+b）中取一个字母a或b的积.所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式.对于每一个a^k*b^(n-k),是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数,右下角一个数））.（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）.由此得到二项式定理. 摘自：百度作业帮
（自己写写的还不如这个好　ＱＡＱ 决定以后再自己写 QAQ）

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1. 排列组合公式推导 百度文库 ↩
2. 组合恒等式证明八法 童广鹏 ↩