汉诺塔问题以及时间复杂度

引言：大一上学期刚接触递归时就接触汉诺塔问题了，那时写代码的时候就是糊里糊涂的。本来就想这么过去了，可是大二上数据结构老师居然留了汉诺塔时间复杂度为第一道作业题。那我就花一个半小时整理一下汉诺塔问题的代码、思路和时间复杂度的算法吧

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（数据结构老师留的问题）

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背景：
汉诺塔问题：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。（摘自百度百科）

从背景知识我们可以总结汉诺塔的两条规律：
1、每次只能移动一个盘子
2、大盘子不能放在小盘子上面

于是我们可以用草稿纸简单演算一下：
1、设三个柱子分别是A、B、C，当A上仅有两个盘子的时候，先将A上最小的盘子移动到B，再将A较大的盘子移动到C，最后把B上的最小盘子移动到C上。也就是说，我们借助B这个空柱子把A上的盘子移到了C上面。
2、当A柱子上有三个盘子的时候，我们先借助C这个空柱子把A最上面的两个盘子移到B上面，然后把A上最大的盘子移到C上面，最后借助此时为空盘子的A柱子将B上的盘子移到C上。
3、以次类推下去……

那么我们再用数字的方法简单归纳一下：
1、当n=1时，A柱子只有一个盘子，可以直接移到C上去
2、当n>=2时，将A柱子上n-1个盘子借助C柱子移到B上，将A最后一个盘子移到C上，最后将B柱子借助空A柱子移到C上。

把思路写成代码：

void Hanoi(int n, char a, char b, char c)//a为原始柱，b为借助柱,c为目标柱{    if (n == 1)    {        Move(a, c);//只有一个盘子时直接移    }    else    {        Hanoi(n - 1, a, c, b);//将A柱子上n-1个盘子借助C柱子移到B上        Move(a, c);//将A最后一个盘子移到C上        Hanoi(n - 1, b, a, c);//将B柱子借助空A柱子移到C上    }}void Move(char orin, char target){    cout << orin << "->" << target << endl;}

代码跑出来的图

时间复杂度的计算
我们可以看出，用递归来解决汉诺塔问题是非常方便的选择，最后我们来分析一下汉诺塔问题的时间复杂度。
设盘子个数为n时，需要T（n)步，把A柱子n-1个盘子移到B柱子，需要T（n-1)步，A柱子最后一个盘子移到C柱子一步，B柱子上n-1个盘子移到C柱子上T（n-1)步。
得递推公式T（n）=2T（n-1)+1
所以汉诺塔问题的时间复杂度为O(2^n);

结语：
暂时关于汉诺塔问题就这么多啦，要是遇到更多的汉诺塔拓展问题会继续回来更贴的~

参考：supervsky《初识汉诺塔问题》，daniel zheng《汉诺塔问题》
作者：东南大学9系小透明