BZOJ3425 Poi2013 Polarization

首先我们要证明这道题的一个性质：最优解一定具有如下形式：以树的某一个重心（可以是任意一个）为根，根的每一个子树里的所有边要么都指向根，要么都指向叶子

引理：首先对于一棵树，我们把所有边的朝向反转，那么好的点对数不变，显然

那么我们要证明树中一定存在一个点，我们称之为“犇点”，其满足以他为根，他的每一个子树里的所有边要么都指向根，要么都指向叶子

假设不存在一个犇点，那么树中一定存在点对(x,y)满足：

·x到y有一条路径

·x到y的路径上除了x和y的所有点（可能没有这样的点）度数都为2

·x至少有一个不在x到y路径上的的出边，y至少有一个不在x到y路径上的入边

“以上性质的证明留给读者，证明是简单而复杂的”不要打我啊波兰文题解就这么写的

那么我们假设x有a个入边，y有b个出边，如果有一个点y'有边指向y，并且y'不在x到y的路径上，那么我们反转以y为根，y'所在的子树里的所有边（包括y到y'的），那么好的点对数会至少增加a-b+1，如果x指向一个点x'，并且x'不在x到y的路径上，那么我们反转以x为根，x'所在的子树里的所有边（包括x到x'的），那么好的点对数至少会增加b-a+1，所以我们一定能找到一种调整方法使得好的点对数增加，直到存在犇点

确认了犇点的存在之后，假设犇点已经被固定了，那么我们只要使得指向犇点的边数（也即点数）和指向叶子的边数尽量平衡即可

那么我们还要证明犇点一定是树的某一个重心，且可以是任意一个重心

假设犇点x不是树的重心，那么x一定有一个以y为根的子树大小大于n/2，那么在犇点是x的情况下，最优解一定是y的子树里的边的方向与所有其他边的方向相反，那么我们令y为根，x所在子树里所有边的朝向与其他边相反，与以x为犇点时的情况是相同的，所以以y为犇点的话最优解不会更劣，所以犇点一定是一个重心

如果有两个重心，显然以任意一个为根都能得到恰好均分的最优解

之后就是把所有的子树大小带权均分了，可以用背包来搞然后bitset压位，然后如果根的度数大于800就用2015年集训队论文里的方法贪心，把所有的子树大小推到堆里，每次弹出最大的两个，把他们差的绝对值重新插入堆，最终剩下的元素就是两部分的差的最小值

加里读入优化之后rank1 get

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