剑指Offer面试题36（Java版）：数组中的逆序对

题目：在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数

例如在数组｛7，5，6，4｝中，一共存在5对逆序对，分别是｛7，6｝，｛7，5｝，｛7，4｝，｛6，4｝，｛5，4｝。

看到这个题目，我们的第一反应就是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n）个数字做比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n2)。我们尝试找找更快的算法。

我们以数组｛7，5，6，4｝为例来分析统计逆序对的过程，每次扫描到一个数字的时候，我们不能拿它和后面的每一个数字做比较，否则时间复杂度就是O(n2)因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

如下图所示，我们先把数组分解称两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别茶城两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组｛7｝，｛5｝中7大于5，因此｛7，5｝组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组｛6｝，｛4｝中也有逆序对｛6，4｝。由于我们已经统计了这两队子数组内部逆序对，因此需要把这两对子数组排序，以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组之间的逆序对。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个子数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中的剩余数字的个数。如果第一个数组中的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后往前复制到一个辅助数组中去，确保辅助数组中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到数组之后，把对应的指针向前移动一位，接着来进行下一轮的比较。

经过前面详细的讨论，我们可疑总结出统计逆序对的过程：先把数组分隔成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个排序的过程就是归并排序。

用Java代码实现上面的过程

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1. /** 
2.  * 逆序对： 
3.  * 在数组中的两个数字如果前面一个数字大于后面一个数字，则这两个数字组成一个逆序对。 
4.  * 输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。 
5.  */  
6. package swordForOffer;  
7.   
8. import java.util.ArrayList;  
9.   
10. /** 
11.  * @author JInShuangQi 
12.  * 
13.  * 2015年8月9日 
14.  */  
15. public class E36InversePairs {  
16.       
17.     private ArrayList<Integer> assignList(ArrayList<Integer> list ,int start,int end){  
18.         ArrayList<Integer> des = new ArrayList<Integer>();  
19.         for(int i = start;i<end;i++){  
20.             des.add(list.get(i));  
21.         }  
22.         return des;  
23.     }  
24.     public long mergeTwoList(ArrayList<Integer> list,int start,int half,int end){  
25.         long count = 0;  
26.         ArrayList<Integer> tempLeft = assignList(list,start,half);  
27.         ArrayList<Integer> tempRight = assignList(list,half,end);  
28.         int leftIndex = 0;  
29.         int rightIndex = 0;  
30.         int index = start;  
31.         while(leftIndex < tempLeft.size() && rightIndex <tempRight.size()){  
32.             int temp1 = tempLeft.get(leftIndex);  
33.             int temp2 = tempRight.get(rightIndex);  
34.             if(temp1 > temp2){  
35.                 count+=tempLeft.size() - leftIndex;  
36.                 list.set(index, temp2);  
37.                 index++;  
38.                 rightIndex++;  
39.             }else{  
40.                 list.set(index, temp1);  
41.                 index++;  
42.                 leftIndex++;  
43.             }  
44.         }  
45.         for(;leftIndex < tempLeft.size();leftIndex++){  
46.             list.set(index, tempLeft.get(leftIndex));  
47.             index++;  
48.         }  
49.         for(;rightIndex <tempRight.size();rightIndex++){  
50.             list.set(index, tempRight.get(rightIndex));  
51.             index++;  
52.         }  
53.         return count;  
54.     }  
55.     public long getInversions(ArrayList<Integer> list,int start,int end){  
56.         long count = 0;  
57.         if((end-start)<= 1)  
58.             return 0;  
59.         int half = start+(end-start)/2;  
60.         count += getInversions(list,start,half);  
61.         count += getInversions(list,half,end);  
62.         count += mergeTwoList(list,start,half,end);  
63.         return count;  
64.     }  
65.     public long getInversePairs(int[] arr){  
66.         ArrayList<Integer> al = new ArrayList<Integer>();  
67.         for(int i = 0;i<arr.length;i++){  
68.             al.add(arr[i]);  
69.         }  
70.         int end =arr.length;  
71.         return getInversions(al,0,end);  
72.     }  
73.     public static void main(String[] args){  
74.         int[] arr={7,5,6,4};  
75.         E36InversePairs test = new E36InversePairs();  
76.         System.out.println(test.getInversePairs(arr));  
77.     }  
78. }