HDU 1402 A * B Problem Plus FFT+convert

HDU1402

两个大数的乘法
1.首先想到的用java Biginter类可以直接求，确实，比赛的时候肯定用java写这种简单的大数类的题目。
2.如果不用java的大数类，就会想到C++的bignumber模版，但是bignumber在进行乘法运算时也是每一位都要乘，然后再做加法，复杂度依旧大数的位数是50000，那么的算法达到了10^9的复杂度，肯定会TLE
3.想到了FFT，两个整数的乘法为什么会想到FFT呢？
如果了解FFT的同学肯定知道整数的乘法和多项式的乘法在数学上是等价的，而多项式的乘法为了降低复杂度用的就是FFT，算法导论中的FFT讲也是基于多项式乘法的，将的时间复杂度降低到了，那么在50000的数据下这个算法是可行的。

如果不太了解FFT，我们也可以将数的乘法视为卷积，以123*123为例

这是一般手算乘法的过程，下面得到的各位之和经过进位就到了最后的结果，实际上我们可以通过卷积得到:
卷积的具体工程大致如下:不妨设两个数组为a与b，首先翻转a数组，然后通过移动a数组与b数组相乘相加，就是卷积的结果，过程如下:

得到的结果 1 4 10 12 9就是乘法的结果。

最后如果进行卷积呢？那就要时域与频域转换了
时域卷积=频域乘积，所以我们计算卷积的过程就是
x1=DFT(a) //DFT就是离散傅里叶变换，把a转换到频域
x2=DFT(a)
x1=x1*x2 //时域卷积=频域乘积
x1=IDFT(a)，//IDFT离散傅里叶逆变换，再把x1从频域转化回来
这样就得到了卷积结果。
终于觉得自己学了两年的信号是有点用处的
看不懂了可以自行浏览大牛的FFT博客:
FFT,DFT,NTT

AC代码模仿bin神的模版

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int maxn=200000+10;const double PI=acos(-1);char str1[maxn/2],str2[maxn/2];struct complex{    double r,i;    complex(double _r = 0.0,double _i = 0.0){        r = _r; i = _i;    }    complex operator +(const complex &b){        return complex(r+b.r,i+b.i);    }    complex operator -(const complex &b){        return complex(r-b.r,i-b.i);    }    complex operator *(const complex &b){        return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);    }};void change(complex y[],int len){    int i,j,k;    for(i=1,j=len/2;i<len-1;i++){        if(i<j)            swap(y[i],y[j]);        k=len/2;        while(j>=k){            j-=k;            k/=2;        }        if(j<k)            j+=k;    }}void fft(complex y[],int len,int on){    change(y,len);    for(int h=2; h<=len;h=h<<1){        complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));        for(int j=0;j<len;j+=h){            complex w(1,0);            for(int k = j;k<j+h/2;k++){                complex u = y[k];                complex t = w*y[k+h/2];                y[k]=u+t;                y[k+h/2]=u-t;                w=w*wn;            }        }    }    if(on==-1)        for(int i=0;i<len;i++)            y[i].r/=len;}void convert(complex a[],complex b[],int len){    fft(a,len,1);  //DFT    fft(b,len,1);    for(int i=0;i<len;i++)    //时域卷积=频域相乘        a[i]=a[i]*b[i];    fft(a,len,-1);//IDFT}complex x1[maxn],x2[maxn];int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    while(~scanf("%s%s",str1,str2)){        int ans[maxn];        int len1=strlen(str1);        int len2=strlen(str2);        int len=1;        while(len<len1*2 || len<len2*2)            len=len<<1;        for(int i=0;i<len1;i++)            x1[i]=complex(str1[len1-1-i]-'0',0);        for(int i=len1;i<len;i++)            x1[i]=complex(0,0);        for(int i=0;i<len2;i++)            x2[i]=complex(str2[len2-1-i]-'0',0);        for(int i=len2;i<len;i++)            x2[i]=complex(0,0);        for(int i=0;i<len;i++)            printf("%.0lf ",x1[i].r);        cout<<endl;        for(int i=0;i<len;i++)            printf("%.0lf ",x2[i].r);        cout<<endl;        convert(x1,x2,len);        for(int i=0;i<len;i++){            ans[i]=int(x1[i].r+0.5);            cout<<ans[i]<<" ";        }        cout<<endl;        for(int i=0;i<len;i++){            ans[i+1]+=ans[i]/10;            ans[i]%=10;        }        len=len1+len2-1;        while(ans[len]<=0 && len >0)            len--;        for(int i=len;i>=0;i--){            printf("%c",ans[i]+'0');        }        cout<<endl;    }}